已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1，b1]时f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时f（x）的值域为[a3，b3]，…依此类推，一般地，当x∈[an-1，bn-1]时f（x）的值域

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已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时f（x）的值域为[a₃，b₃]，…依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中a、b为常数且a₁=0，b₁=1
（1）若a=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）若a＞0且a≠1，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值．
（3）若a＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₀₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₀）的值．

题型：解答题难度：中档来源：闸北区一模

答案

（1）a=1时，f（x）=x+b在R上是增函数，
由已知，当n≥2时，x∈[an-1，bn-1]，f（x）的值域是[an，bn]，
∴an=f（an-1）=an-1+b，bn=f（bn-1）=bn-1+b，
∴{an}、{bn}都是公差为b的等差数列．
∵a1=0，b1=1，
∴an=（n-1）b，bn=（n-1）b+1；
（2）∵a＞0，a≠1，
∴f（x）=ax+b在R上也是增函数，
由已知有bn=f（bn-1）=abn-1+b，即bn=abn-1+b（n≥2），
∴

bn-1

=a+class="stub"b

bn-1

，
若{bn}是公比不为1的等比数列，则class="stub"b

bn-1

是常数，所以b=0；
（3）∵a＜0，∴f（x）=ax+b在R上是减函数，
由已知可得，bn=f（an-1）=a•an-1+b，an=f（bn-1）=a•bn-1+b，
∴bn-an=-a（bn-1-an-1）（n≥2），
∴{bn-an}是以1为首项，-a为公比的等比数列，
∴bn-an=（-a）n-1，
∴Tn-Sn=（b1-a1）+（b2-a2）+…+（bn-an）=

n，a=-1

1-(-a)n

1+a

，a≠-1

，
于是，（T1+T2+…+T2000）-（S1+S2+…+S2000）
=（T1-S1）+（T2-S2）+…+（T2000-S2000）
=

2001000，a=-1

2000+2001a-a2001

(1+a)2

，a＜0，a≠-1

．

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已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1，b1]时f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时f（x）的值域为[a3，b3]，…依此类推，一般地，当x∈[an-1，bn-1]时f（x）的值域

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