首页 > 函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=12．（1）求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∈N)的值；（2）数列{an}满足an=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)

函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=12．（1）求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∈N)的值；（2）数列{an}满足an=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)

题目简介

函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=12．（1）求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∈N)的值；（2）数列{an}满足an=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)

题目详情

函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=
1
2
．
（1）求f(
1
2
)和f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∈N)的值；
（2）数列{an}满足an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)，求数列{an}的通项公式．
（3）令bn=
4
4an-1
，Tn=
b21
+
b22
+
b23
+…+
b2n
，Sn=32-
16
n
试比较Tn与Sn的大小．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令x=class="stub"1
2
，得f(class="stub"1
2
) =class="stub"1
4
，
令x=class="stub"1
n
得f(class="stub"1
n
)+f(1-class="stub"1
n
)=class="stub"1
2
=f(class="stub"1
n
)+f(class="stub"n-1
n
)
（2）an=f(0)+f(class="stub"1
n
)++f(class="stub"n-1
n
)+f(1)
又an=f(1)+f(class="stub"n-1
n
)++f(class="stub"1
n
)+f(0)，
两式相加2an=[f(0)+f(1)]+[f(class="stub"1
n
)+f(class="stub"n-1
n
)]++[f(1)+f(0)]
=class="stub"n+1
2
，∴an=class="stub"n+1
4
．
（3）bn=class="stub"4
4an-1
=class="stub"4
n
Tn=
b21
+
b22
++
b2n
=16(1+class="stub"1
22
+class="stub"1
32
++class="stub"1
n2
）
＜16[1+class="stub"1
1×2
+class="stub"1
2×3
+…+class="stub"1
n(n-1)
]
=16[1+(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)++(class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n
)]
=16(2-class="stub"1
n
)=32-class="stub"16
n
=Sn
∴Tn≤Sn

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