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> 已知a1=9,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n∈N*,设bn=lg(1+an).(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)设cn=nbn,求数列{cn}的前n项和Sn;(Ⅲ
已知a1=9,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n∈N*,设bn=lg(1+an).(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)设cn=nbn,求数列{cn}的前n项和Sn;(Ⅲ
题目简介
已知a1=9,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n∈N*,设bn=lg(1+an).(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)设cn=nbn,求数列{cn}的前n项和Sn;(Ⅲ
题目详情
已知a
1
=9,点(a
n
,a
n+1
)在函数f(x)=x
2
+2x的图象上,其中n∈N
*
,设b
n
=lg(1+a
n
).
(Ⅰ) 证明数列{b
n
}是等比数列;
(Ⅱ) 设c
n
=nb
n
,求数列{c
n
}的前n项和S
n
;
(Ⅲ) 设
d
n
=
1
a
n
+
1
a
n
+2
,求数列{d
n
}的前n项和D
n
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ) 证明:由题意知:
a
n+1
=
a
2n
+2
a
n
,
∴
a
n+1
+1=(
a
n
+1
)
2
,
∵a1=9∴an+1>0,
∴
lg(
a
n+1
+1)=lg(
a
n
+1
)
2
,即bn+1=2bn.
又∵b1=lg(1+a1)=1>0,
∴{bn}是公比为2的等比数列.
(Ⅱ) 由(1)知:
b
n
=
b
1
•
2
n-1
=
2
n-1
,∴
c
n
=n•
2
n-1
.
∴Sn=c1+c2+…+cn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1①,
∴
2
S
n
=1•
2
1
+2•
2
2
+3•
2
3
+…+(n-1)•
2
n-1
+n•
2
n
②,
∴①-②得,
-
S
n
=1•
2
0
+
2
1
+
2
2
+…+
2
n-1
-n•
2
n
=
1-
2
n
1-2
-n•
2
n
=
2
n
-1-n•
2
n
,
∴
S
n
=n•
2
n
-
2
n
+1
.
(Ⅲ)∵
a
n+1
=
a
2n
+2
a
n
=
a
n
(
a
n
+2)>0
,
∴
class="stub"1
a
n+1
=
class="stub"1
2
(
class="stub"1
a
n
-
class="stub"1
a
n
+2
)
,∴
class="stub"1
a
n
+2
=
class="stub"1
a
n
-
class="stub"2
a
n+1
,
∴
d
n
=
class="stub"1
a
n
+
class="stub"1
a
n
-
class="stub"2
a
n+1
=2(
class="stub"1
a
n
-
class="stub"1
a
n+1
)
,
∴
D
n
=
d
1
+
d
2
+…+
d
n
=2(
class="stub"1
a
1
-
class="stub"1
a
2
+
class="stub"1
a
2
-
class="stub"1
a
3
+…
class="stub"1
a
n
-
class="stub"1
a
n+1
)=2(
class="stub"1
a
1
-
class="stub"1
a
n+1
)
,
又由(1)知:
lg(1+
a
n
)=
2
n-1
,
∴
a
n
+1=1
0
2
n-1
,∴
a
n+1
=1
0
2
n
-1
,
∴
D
n
=2(
class="stub"1
9
-
class="stub"1
10
2
n
-1
)
.
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等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=
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题目简介
已知a1=9,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n∈N*,设bn=lg(1+an).(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)设cn=nbn,求数列{cn}的前n项和Sn;(Ⅲ
题目详情
(Ⅰ) 证明数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ) 设cn=nbn,求数列{cn}的前n项和Sn;
(Ⅲ) 设dn=
答案
∴an+1+1=(an+1)2,
∵a1=9∴an+1>0,
∴lg(an+1+1)=lg(an+1)2,即bn+1=2bn.
又∵b1=lg(1+a1)=1>0,
∴{bn}是公比为2的等比数列.
(Ⅱ) 由(1)知:bn=b1•2n-1=2n-1,∴cn=n•2n-1.
∴Sn=c1+c2+…+cn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1①,
∴2Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n②,
∴①-②得,-Sn=1•20+21+22+…+2n-1-n•2n=
∴S n=n•2n-2n+1.
(Ⅲ)∵an+1=
∴
∴dn=
∴Dn=d1+d2+…+dn=2(
又由(1)知:lg(1+an)=2n-1,
∴an+1=102n-1,∴an+1=102n-1,
∴Dn=2(