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> 已知数列{an}的前n项和为Sn，且点（n，Sn）在函数y=2x-1-2的图象上．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设数列{bn}满足：b1=0，bn+1+bn=an，求数列{bn}的前n项和公
已知数列{an}的前n项和为Sn，且点（n，Sn）在函数y=2x-1-2的图象上．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设数列{bn}满足：b1=0，bn+1+bn=an，求数列{bn}的前n项和公
题目简介
已知数列{an}的前n项和为Sn，且点（n，Sn）在函数y=2x-1-2的图象上．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设数列{bn}满足：b1=0，bn+1+bn=an，求数列{bn}的前n项和公
题目详情
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且点（n，S
n
）在函数y=2
x-1
-2的图象上．
（I）求数列{a
n
}的通项公式；
（II）设数列{b
n
}满足：b
1
=0，b
n+1
+b
n
=a
n
，求数列{b
n
}的前n项和公式；
（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N
*
不等式b
n
＜λb
n+1
恒成立，求实数
h(-1)=-
1
3
的取值范围．
题型：解答题
难度：中档
来源：顺义区一模
答案
（I）由题意可知，
S
n
=
2
n+1
-2
．
当n≥2时，
a
n
=
S
n
-
S
n-1
=
2
n+1
-2-(
2
n
-2)=
2
n
，
当n=1时，
a
1
=
S
1
=
2
1+1
-2=2
也满足上式，
所以
a
n
=
2
n
(n∈N*)
．…（3分）
（II）由（I）可知
b
n+1
+
b
n
=
2
n
(n∈N*)
，即
b
k+1
+
b
k
=
2
k
(k∈N*)
．
当k=1时，
b
2
+
b
1
=
2
1
，…①
当k=2时，
b
3
+
b
2
=
2
2
，所以
-
b
3
-
b
2
=-
2
2
，…②
当k=3时，
b
4
+
b
3
=
2
3
，…③
当k=4时，
b
5
+
b
4
=
2
4
，所以
-
b
5
-
b
4
=-
2
4
，…④
…
…
当k=n-1时（n为偶数），
b
n
+
b
n-1
=
2
n-1
，所以
-
b
n
-
b
n-1
=-
2
n-1
…n-1
以上n-1个式子相加，得
b
n
+
b
1
=2-
2
2
+
2
3
-
2
4
+…+
2
n-1
=
2[1-
(-2)
n-1
]
1-(-2)
=
2(1+
2
n-1
)
3
=
2
n
3
+
class="stub"2
3
，又b1=0，
所以，当n为偶数时，
b
n
=
2
n
3
+
class="stub"2
3
．
同理，当n为奇数时，
-
b
n
+
b
1
=2-
2
2
+
2
3
-
2
4
+…-
2
n-1
=
2[1-
(-2)
n-1
]
1-(-2)
=
2-
2
n
3
，
所以，当n为奇数时，
b
n
=
2
n
3
-
class="stub"2
3
．…（6分）
因此，当n为偶数时，数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn
=
(
class="stub"2
3
-
class="stub"2
3
)+(
2
2
3
+
class="stub"2
3
)+(
2
3
3
-
class="stub"2
3
)+(
2
4
3
+
class="stub"2
3
)+…+(
2
n
3
+
class="stub"2
3
)
=
class="stub"2
3
+
2
2
3
+…+
2
n
3
=
class="stub"1
3
•
2(1-
2
n
)
1-2
=
2
n+1
3
-
class="stub"2
3
；
当n为奇数时，数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn-1+bn
=
(
class="stub"2
3
-
class="stub"2
3
)+(
2
2
3
+
class="stub"2
3
)+…+(
2
n-1
3
+
class="stub"2
3
)+(
2
n
3
-
class="stub"2
3
)
=
(
class="stub"2
3
+
2
2
3
+…+
2
n
3
)-
class="stub"2
3
=
2
n+1
3
-
class="stub"4
3
．
故数列{bn}的前n项和
T
n
=
2
n+1
3
-
class="stub"2
3
(n为偶数)
2
n+1
3
-
class="stub"4
3
(n为奇数)
．…（8分）
（III）由（II）可知
b
n
=
2
n
3
+
class="stub"2
3
(n为偶数)
2
n
3
-
class="stub"2
3
(n为奇数)
，
①当n为偶数时，
b
n
b
n+1
=
2
n
3
+
class="stub"2
3
2
n+1
3
-
class="stub"2
3
=
2
n
+2
2
n+1
-2
=
class="stub"1
2
+
class="stub"3
2
n+1
+2
，
所以
b
n
b
n+1
随n的增大而减小，
从而，当n为偶数时，
b
n
b
n+1
的最大值是
b
2
b
3
=1
．
②当n为奇数时，
b
n
b
n+1
=
2
n
3
-
class="stub"2
3
2
n+1
3
+
class="stub"2
3
=
2
n
-2
2
n+1
+2
=
class="stub"1
2
-
class="stub"3
2
n+1
+2
，
所以
b
n
b
n+1
随n的增大而增大，且
b
n
b
n+1
=
class="stub"1
2
-
class="stub"3
2
n+1
+2
＜
class="stub"1
2
＜1
．
综上，
b
n
b
n+1
的最大值是1．
因此，若对于任意的n∈N*，不等式bn＜λbn+1恒成立，只需λ＞1，
故实数λ的取值范围是（1，+∞）．…（13分）
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数列{an}的前n项和为sn，a1=1，an+
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给定有限单调递增数列{xn}（n∈N
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已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)•f(y)，且f(1)=12．（1）当x∈N+时，求f（n）的表达式；（2）设an=nf(n)&(n∈N+，求证：a1+a2+…+an＜2；（3）设b
数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=32（an-l），数列{bn}满足bn=14bn-1-34（n≥2），b1=3．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式．（2）设数列{cn}满足cn=anlog
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已知函数f（x）=x2+2x，数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）的图象上，且过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为kn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）
已知数列{an}满足：an+1=an+(12)n+1(n∈N*)，且a1=1；设bn=12an-34．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若cn=2n-1（n∈N*），求数列{bn•cn}的前n项和
在数列{an}中，a1=0，a2=2，且an+2-an=1+（-1）n（n∈N*），则s100=______．-数学
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=Sn+2an+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=nan+1(n∈N+)，求数列{bn}的前n项和Tn．-数学
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题目简介
已知数列{an}的前n项和为Sn，且点（n，Sn）在函数y=2x-1-2的图象上．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设数列{bn}满足：b1=0，bn+1+bn=an，求数列{bn}的前n项和公
题目详情
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设数列{bn}满足：b1=0，bn+1+bn=an，求数列{bn}的前n项和公式；
（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N*不等式bn＜λbn+1恒成立，求实数h(-1)=-
答案
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n，
当n=1时，a1=S1=21+1-2=2也满足上式，
所以an=2n(n∈N*)．…（3分）
（II）由（I）可知bn+1+bn=2n(n∈N*)，即bk+1+bk=2k(k∈N*)．
当k=1时，b2+b1=21，…①
当k=2时，b3+b2=22，所以-b3-b2=-22，…②
当k=3时，b4+b3=23，…③
当k=4时，b5+b4=24，所以-b5-b4=-24，…④
…
…
当k=n-1时（n为偶数），bn+bn-1=2n-1，所以-bn-bn-1=-2n-1…n-1
以上n-1个式子相加，得bn+b1=2-22+23-24+…+2n-1
=
所以，当n为偶数时，bn=
同理，当n为奇数时，-bn+b1=2-22+23-24+…-2n-1
=
所以，当n为奇数时，bn=
因此，当n为偶数时，数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn
=(
=
当n为奇数时，数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn-1+bn
=(
=(
故数列{bn}的前n项和Tn=
（III）由（II）可知bn=
①当n为偶数时，
所以
从而，当n为偶数时，
②当n为奇数时，
所以
综上，
因此，若对于任意的n∈N*，不等式bn＜λbn+1恒成立，只需λ＞1，
故实数λ的取值范围是（1，+∞）．…（13分）