已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=an+1an,n∈N*,(Ⅰ)求b1,b2,b3的值;(Ⅱ)设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和,求证:Sn≥17n;(Ⅲ)求证

题目简介

已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=an+1an,n∈N*,(Ⅰ)求b1,b2,b3的值;(Ⅱ)设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和,求证:Sn≥17n;(Ⅲ)求证

题目详情

已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+anbn=
an+1
an
,n∈N*

(Ⅰ)求b1,b2,b3的值;
(Ⅱ)设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和,求证:Sn≥17n;
(Ⅲ)求证:|b2n-bn|<
1
64
1
17n-2
题型:解答题难度:中档来源:重庆

答案

(Ⅰ)∵a2=4,a3=17,a4=72,
所以b1=4.b2=class="stub"17
4
b3=class="stub"72
17

(Ⅱ)由an+2=4an+1+an
an+2
an+1
=4+
an
an+1
bn+1=4+class="stub"1
bn

所以当n≥2时,bn>4
于是c1=b1,b2=17,cn=bnbn+1=4bn+1>17(n≥2)
所以Sn=c1+c2++cn≥17n
(Ⅲ)当n=1时,结论|b2-b1|=class="stub"1
4
<class="stub"17
64
成立
当n≥2时,有|bn+1-bn|=|4+class="stub"1
bn
-4-class="stub"1
bn-1
|=|
bn-bn-1
bnbn-1
|≤class="stub"1
17
|bn-bn-1|
≤class="stub"1
172
|bn-1-bn-2|≤class="stub"1
17n-1
|b2-b1|<class="stub"1
64
•class="stub"1
17n-2
(n≥2)

所以|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+…+|b2n-b2n-1|class="stub"1
4
[(class="stub"1
17
)
n-1
+(class="stub"1
17
)
n
+(class="stub"1
17
)
2n-2
]=class="stub"1
4
(class="stub"1
17
)
n-1
(1-class="stub"1
17n
)
1-class="stub"1
17
<class="stub"1
64
•class="stub"1
17n-1
  (n∈N*)

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