已知数列{an}的前n项和为Sn,常数λ>0,且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列{lg1an}的前n项和最大

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn,常数λ>0,且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列{lg1an}的前n项和最大

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已知数列{an}的前n项和为Sn,常数λ>0,且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列{lg
1
an
}
的前n项和最大?
题型:解答题难度:中档来源:四川

答案

解(I)当n=1时,λ a12 =2s1=2a1
∴a1(λa1-2)=0
若取a1=0,则sn=0,an=sn-sn-1=0
∴an=0(n≥1)
若a1≠0,则a1=class="stub"2
λ
,当n≥2时,2an=class="stub"2
λ
+sn
2an-1=class="stub"2
λ
+sn-1

两式相减可得,2an-2an-1=an
∴an=2an-1,从而可得数列{an}是等比数列
∴an=a1•2n-1=class="stub"2
λ
2n-1
=
2n
λ

综上可得,当a1=0时,an=0,当a1≠0时,an=
2n
λ

(II)当a1>0且λ=100时,令bn=lgclass="stub"1
an

由(I)可知bn=lgclass="stub"100
2n
=2-nlg2

∴{bn}是单调递减的等差数列,公差为-lg2
∴b1>b2>…>b6=lgclass="stub"100
26
=lgclass="stub"100
64
>0
当n≥7时,bnb7=lgclass="stub"100
27
=lgclass="stub"100
128
<0

∴数列{lgclass="stub"1
an
}
的前6项和最大

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