首页 > 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，（n=1，2，3，…）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）c

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，（n=1，2，3，…）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）c

题目简介

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，（n=1，2，3，…）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）c

题目详情

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）cn=
n(3-bn)
2
，求cn的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由Sn=2-an①
当n=1时，S1=2-a1，∴a1=1．
取n=n+1得：Sn+1=2-an+1②
②-①得：Sn+1-Sn=an-an+1
即an+1=an-an+1，故有2an+1=an（n=1，2，3，…），
∵a1=1≠0，∴an≠0，∴
an+1
an
=class="stub"1
2
（n∈N*）．
所以，数列{an}为首项a1=1，公比为class="stub"1
2
的等比数列．
则an=(class="stub"1
2
)n-1（n∈N*）．
（Ⅱ）∵bn+1=bn+an，∴bn+1-bn=(class="stub"1
2
)n-1，
则b2-b1=(class="stub"1
2
)0=1，
b3-b2=(class="stub"1
2
)1=class="stub"1
2
，
b4-b3=(class="stub"1
2
)2，
…
bn-bn-1=(class="stub"1
2
)n-2．
将以上n-1个等式累加得：
bn-b1=1+class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
)2+(class="stub"1
2
)3+…+(class="stub"1
2
)n-2
=
1×[1-(class="stub"1
2
)n-1]
1-class="stub"1
2

=2-class="stub"1
2n-2
．
∴bn=b1+2-class="stub"1
2n-2
=1+2-class="stub"1
2n-2
=3-class="stub"1
2n-2
．
（Ⅲ）由cn=
n(3-bn)
2
=
n(3-3+class="stub"1
2n-2
)
2
=class="stub"n
2n-1
．
Tn=c1+c2+c3+…+cn．
得：Tn=class="stub"1
20
+class="stub"2
21
+class="stub"3
22
+…+class="stub"n-1
2n-2
+class="stub"n
2n-1
③
class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
21
+class="stub"2
22
+class="stub"3
23
+…+class="stub"n-1
2n-1
+class="stub"n
2n
④
③-④得：class="stub"1
2
Tn=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…class="stub"1
2n-1
-class="stub"n
2n

=
1×(1-class="stub"1
2n
)
1-class="stub"1
2
-class="stub"n
2n

=2-class="stub"1
2n-1
-class="stub"n
2n
．
∴Tn=4-class="stub"2+n
2n-1
．

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