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> 在数列{an}中,a1=1,an+1•an=8(Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ)设bn=log2an,求证:{bn-2}为等比数列;(Ⅲ)求{an}的前n项积Tn.-高二数学
在数列{an}中,a1=1,an+1•an=8(Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ)设bn=log2an,求证:{bn-2}为等比数列;(Ⅲ)求{an}的前n项积Tn.-高二数学
题目简介
在数列{an}中,a1=1,an+1•an=8(Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ)设bn=log2an,求证:{bn-2}为等比数列;(Ⅲ)求{an}的前n项积Tn.-高二数学
题目详情
在数列{a
n
}中,
a
1
=1,
a
n+1
•
a
n
=8
(Ⅰ)求a
2
,a
3
;
(Ⅱ)设b
n
=log
2
a
n
,求证:{b
n
-2}为等比数列;
(Ⅲ)求{a
n
}的前n项积T
n
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)∵
a
2
•
a
1
=8,
a
1
=1
,
∴a2=8.
∵
a
3
•
a
2
=8,
a
1
=8
,
∴
a
3
=2
2
.
(Ⅱ)证明:∵
b
n+1
-2
b
n
-2
=
lo
g
2
a
n+1
-2
lo
g
2
a
n
-2
=
lo
g
2
class="stub"8
a
n
-2
lo
g
2
a
n
-2
=
3-
class="stub"1
2
lo
g
2
a
n
-2
lo
g
2
a
n
-2
═
class="stub"1
2
×
2-lo
g
2
a
n
lo
g
2
a
n
-2
=-
class="stub"1
2
.
∴{bn-2}为等比数列,首项为b1-2,即为-2,其公比为
-
class="stub"1
2
.
(Ⅲ)设数列{bn-2}的前n项和为Sn
S
n
=
-2(1-
(-
class="stub"1
2
)
n
)
1+
class="stub"1
2
=
b
1
+
b
2
+
b
3
+…+
b
n
-2n=lo
g
2
a
1
+lo
g
2
a
2
+…lo
g
2
a
n
-2n
=lo
g
2
T
n
-2n
.
∴
lo
g
2
T
n
=
class="stub"4
3
[(-
class="stub"1
2
)
n
-1]+2n
,
∴
T
n
=
2
class="stub"4
3
[
(-
class="stub"1
2
)
n
-1]+2n
.
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已知数列{an}为等差数列,a3=3,a1
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∴a2=8.
∵a3•
∴a3=2
(Ⅱ)证明:∵
=
═
∴{bn-2}为等比数列,首项为b1-2,即为-2,其公比为-
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∴log2Tn=
∴Tn=2