已知数列{an}为等差数列,a3=3,a1+a2+…+a6=21,数列(1an)的前n项和为Sn,若对一切n∈N*,恒有S2n-Sn>m16,则m能取到的最大正整数是______.-数学

题目简介

已知数列{an}为等差数列,a3=3,a1+a2+…+a6=21,数列(1an)的前n项和为Sn,若对一切n∈N*,恒有S2n-Sn>m16,则m能取到的最大正整数是______.-数学

题目详情

已知数列{an}为等差数列,a3=3,a1+a2+…+a6=21,数列(
1
an
)
的前n项和为Sn,若对一切n∈N*,恒有S2n-Sn
m
16
,则m能取到的最大正整数是______.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

设数列{an}的公差为d,由题意得,
a1+2d=3
6a1+15d=21
,解得
a1=1
d=1

∴an=n,且class="stub"1
an
=class="stub"1
n

∴Sn=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n

令Tn=S2n-Sn=class="stub"1
n+1
+class="stub"1
n+2
+…+class="stub"1
2n

Tn+1=class="stub"1
n+2
+class="stub"1
n+3
+…+class="stub"1
2n+2

Tn+1-Tn=class="stub"1
2n+2
+class="stub"1
2n+1
-class="stub"1
n+1
class="stub"1
2n+2
+class="stub"1
2n+2
-class="stub"1
n+1
=0
∴Tn+1>Tn,
则Tn随着n的增大而增大,即Tn在n=1处取最小值,
∴T1=S2-S1=class="stub"1
2

∵对一切n∈N*,恒有S2n-Sn>class="stub"m
16
成立,
class="stub"1
2
>class="stub"m
16
即可,解得m<8,
故m能取到的最大正整数是7.

更多内容推荐