设Sn为数列{an}前n项和,对任意的n∈N*,都有Sn=2-an,数列{bn}满足bn=bn-11+bn-1,b1=2a1,(1)求证:数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)求数列{

题目简介

设Sn为数列{an}前n项和,对任意的n∈N*,都有Sn=2-an,数列{bn}满足bn=bn-11+bn-1,b1=2a1,(1)求证:数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)求数列{

题目详情

设Sn为数列{an}前n项和,对任意的n∈N*,都有Sn=2-an,数列{bn}满足bn=
bn-1
1+bn-1
,b1=2a1
(1)求证:数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)求数列{
1
an+2bn
}
的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:东莞二模

答案

(本小题满分14分)
证明:(1)当n=1时,a1=S1=2-a1,解得a1=1.                                …(1分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-1-an,即2an=an-1.
an
an-1
=class="stub"1
2
(n≥2)
.                                                   …(2分)
∴数列{an}是首项为1,公比为class="stub"1
2
的等比数列,即an=(class="stub"1
2
)n-1,n∈N*
.     …(4分)
(2)b1=2a1=2.                                                           …(5分)
bn=
bn-1
1+bn-1

class="stub"1
bn
=class="stub"1
bn-1
+1
,即class="stub"1
bn
-class="stub"1
bn-1
=1(n≥2)
.                  …(6分)
{class="stub"1
bn
}
是首项为class="stub"1
2
,公差为1的等差数列.                                 …(7分)
class="stub"1
bn
=class="stub"1
2
+(n-1)•1=class="stub"2n-1
2
bn=class="stub"2
2n-1
…(8分)
(3)∵an+2=(class="stub"1
2
)n+1
bn=class="stub"2
2n-1

class="stub"1
an+2bn
=2n(2n-1)
.             …(9分)
所以Tn=
22
b1
+
23
b2
+
24
b3
+…+
2n
bn-1
+
2n+1
bn
,…(10分)
Tn=21×1+22×3+23×5+…+2n-1×(2n-3)+2n×(2n-1),①…(11分)
2Tn=22×1+23×3+24×5+…+2n×(2n-3)+2n+1×(2n-1),②…(12分)
②-①得Tn=2n+1×(2n-1)-2-23-24-…-2n+1,…(13分)
Tn=2n+1×(2n-1)-2-
23(1-2n-1)
1-2
=2n+1×(2n-3)+6
.                …(14分)

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