在等差数列是{an}中,已知a4与a2与a8的等比中项,a3+2是a2与a6的等差中项,Sn是前n项和,则满足911<1S1+1S2+1S3+…+1Sn<1921(n∈N*)的所有n值的和为_____

题目简介

在等差数列是{an}中,已知a4与a2与a8的等比中项,a3+2是a2与a6的等差中项,Sn是前n项和,则满足911<1S1+1S2+1S3+…+1Sn<1921(n∈N*)的所有n值的和为_____

题目详情

在等差数列是{an}中,已知a4与a2与a8的等比中项,a3+2是a2与a6的等差中项,Sn是前n项和,则满足
9
11
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
19
21
(n∈N*)
的所有n值的和为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

设等差数列是{an}的公差为d,由a4是a2与a8的等比中项,得(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),化简得a1d=d2①,
由a3+2是a2与a6的等差中项,得2(a1+2d+2)=(a1+d)+(a1+5d),解得d=2,代入①得a1=d=2.
所以an=a1+(n-1)•d=2n,
Sn=
n(2+2n)
2
=n(n+1),
所以class="stub"1
Sn
=class="stub"1
n(n+1)
=class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1

class="stub"1
S1
+class="stub"1
S2
+class="stub"1
S3
+…+class="stub"1
Sn
=1-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
4
+…+class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
=1-class="stub"1
n+1

由已知得class="stub"9
11
<1-class="stub"1
n+1
class="stub"19
21
,解得class="stub"9
2
<n<class="stub"19
2

又n∈Z,所以n=5,6,7,8,9,且5+6+7+8+9=35,
故答案为:35.

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