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> 已知n是正整数,数列{an}的前n项和为Sn,数列{nan}的前n项和为Tn.对任何正整数n,等式Sn=-an+12(n-3)都成立.(I)求数列{an}的通项公式;(II)求Tn;(III)设An=
已知n是正整数,数列{an}的前n项和为Sn,数列{nan}的前n项和为Tn.对任何正整数n,等式Sn=-an+12(n-3)都成立.(I)求数列{an}的通项公式;(II)求Tn;(III)设An=
题目简介
已知n是正整数,数列{an}的前n项和为Sn,数列{nan}的前n项和为Tn.对任何正整数n,等式Sn=-an+12(n-3)都成立.(I)求数列{an}的通项公式;(II)求Tn;(III)设An=
题目详情
已知n是正整数,数列{a
n
}的前n项和为S
n
,数列{na
n
}的前n项和为T
n
.对任何正整数n,等式S
n
=-a
n
+
1
2
(n-3)都成立.
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(II)求T
n
;
(III)设A
n
=2T
n
,B
n
=(2n+4)S
n
+3,比较A
n
与B
n
的大小.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(I) 当n=1时,由
s
n
=-
a
n
+
class="stub"1
2
(n-3)
的
S
1
=
a
1
=-
a
1
+
class="stub"1
2
(1-3)
,
解得
a
1
= -
class="stub"1
2
…2分
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
-
a
n
+
class="stub"1
2
(n-3)
-[
-
a
n-1
+
class="stub"1
2
(n-4)
]
解得
a
n
=
class="stub"1
2
a
n-1
+
class="stub"1
4
,即
a
n
-
class="stub"1
2
=
class="stub"1
2
(
a
n-1
-
class="stub"1
2
)
因此,数列
{
a
n
-
class="stub"1
2
}是首项为-1,公比为
class="stub"1
2
的等比数列
∴
a
n
-
class="stub"1
2
=(-1)•
(
class="stub"1
2
)
n-1
,
即
a
n
=
class="stub"1
2
-
class="stub"1
2
n-1
,…7分
∴数列
{
a
n
}的通项公式为
a
n
=
class="stub"1
2
-
class="stub"1
2
n-1
.
(II)∵
n
a
n
=
class="stub"n
2
-n•
class="stub"1
2
n-1
,
∴
T
n
=
class="stub"1
2
(1+2+3+…+n)-(1+2×
class="stub"1
2
+3×
class="stub"1
2
2
+…+n×
class="stub"1
2
n-1
)…6分
令
U
n
= 1+2×
class="stub"1
2
+3×
class="stub"1
2
2
+…+n×
class="stub"1
2
n-1
.
则
class="stub"1
2
U
n
=
class="stub"1
2
+2×
class="stub"1
2
2
+3×
class="stub"1
2
3
+…+n×
class="stub"1
2
n
.
上面两式相减:
class="stub"1
2
U
n
= 1+
class="stub"1
2
+
class="stub"1
2
2
+…+
class="stub"1
2
n-1
-n×
class="stub"1
2
n
=
1-
(
class="stub"1
2
)
n
1-
class="stub"1
2
-n•
class="stub"1
2
n
,即
U
n
=4-
class="stub"n+2
2
n-1
.
∴
T
n
=
n(n+1)
4
-4+
class="stub"n+2
2
n-1
=
n
2
+n-16
4
+
class="stub"n+2
2
n-1
…8分
(III)∵Sn=-an+
class="stub"n-3
2
=
-
class="stub"1
2
+
class="stub"1
2
n-1
+
class="stub"n-3
2
=
class="stub"n-4
2
+
class="stub"1
2
n-1
,
∴
A
n
-
B
n
=
n
2
+n-16
2
+
class="stub"n+2
2
n-2
-
(2n+4)(n-4)
2
-
class="stub"n+2
2
n-2
-3
=
-
n
2
+5n-6
2
…10分
∵当n=2或n=3时,
-
n
2
+5n-6
2
的值最大,最大值为0,
∴An-Bn≤0.
因此,当n是正整数时,An≤Bn.…12分
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已知数列{an}的前n项和Sn=n2an
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在一个数列中,如果∀n∈N°,都有
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题目简介
已知n是正整数,数列{an}的前n项和为Sn,数列{nan}的前n项和为Tn.对任何正整数n,等式Sn=-an+12(n-3)都成立.(I)求数列{an}的通项公式;(II)求Tn;(III)设An=
题目详情
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)求Tn;
(III)设An=2Tn,Bn=(2n+4)Sn+3,比较An与Bn的大小.
答案
解得a1= -
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-an+
解得 an=
因此,数列{an-
∴an-
即an=
∴数列{an}的通项公式为an=
(II)∵nan=
∴Tn=
令Un= 1+2×
则
上面两式相减:
∴Tn =
(III)∵Sn=-an+
∴An-Bn=
=
∵当n=2或n=3时,
∴An-Bn≤0.
因此,当n是正整数时,An≤Bn.…12分