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已知f（x）=2x-1，g（x）=-2x，数列{an}（n∈N*）的各项都是整数，其前n项和为Sn，若点（a2n-1，a2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，且当n为偶数时，an=n2，则（

题目简介

已知f（x）=2x-1，g（x）=-2x，数列{an}（n∈N*）的各项都是整数，其前n项和为Sn，若点（a2n-1，a2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，且当n为偶数时，an=n2，则（

题目详情

已知f（x）=2x-1，g（x）=-2x，数列{an} （n∈N*）的各项都是整数，其前n项和为Sn，若点（a2n-1，a2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，且当n为偶数时，an=
n
2
，则
（1）S8=______；
（2）S4n=______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

（1）当n为偶数时，an=class="stub"n
2
，
∵f（x）=2x-1，g（x）=-2x，点（a2n-1，a2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，
∴a2n=2a2n-1-1，或a2n=-2a2n-1，
当a2n=2a2n-1-1时，2a2n-1=a2n+1=n+1，∴a2n-1=class="stub"n+1
2
，
∵数列{an} （n∈N*）的各项都为整数，
∴n为奇数时，a2n-1=class="stub"n+1
2
，
令n=2k-1，k∈N*，则a4k-3=class="stub"2k-1+1
2
=k，即a1，a5，a9，…，成首项为1，公差为1的等差数列；
当a2n=-2a2n-1时，a2n-1=-class="stub"n
2
，
所以n为偶数时，a2n-1=-class="stub"n
2
，
令n=2k′，k′∈N*，则a4k′-1=-class="stub"2k′
2
=-k′，即a3，a7，a11，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列；
所以S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8
=（a2+a4+a6+a8）+（a1+a5）+（a3+a7）
=class="stub"1
2
（2+4+6+8）+（1+2）+（-1-2）
=10；
（2）由（1）知，n为偶数时，an=class="stub"n
2
，且a1，a5，a9，…，成首项为1，公差为1的等差数列，a3，a7，a11，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列，
所以S4n=S奇+S偶=[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n）=
2n(1+2n)
2
=2n2+n．
故答案为：（1）10；（2）2n2+n．

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