首页 > 设向量a=（sinx，cosx），b=（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）=a•(a-b)（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[-π4，π4]时，求函数f（x）的值域；（3）求使不等

设向量a=（sinx，cosx），b=（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）=a•(a-b)（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[-π4，π4]时，求函数f（x）的值域；（3）求使不等

题目简介

设向量a=（sinx，cosx），b=（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）=a•(a-b)（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[-π4，π4]时，求函数f（x）的值域；（3）求使不等

题目详情

设向量
a
=（sinx，cosx），
b
=（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）=
a
•(
a
-
b
)
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-
π
4
，
π
4
]时，求函数f（x）的值域；
（3）求使不等式f（x）≥1成立的x的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
a
-
b
=（sinx-cosx，0），
∴
a
•(
a
-
b
=（sinx，cosx）•（sinx-cosx，0）
=sin2x-sinxcosx=class="stub"1-cos2x
2
-class="stub"1
2
sin2x=class="stub"1
2
-
2
2
sin(2x+class="stub"π
4
)，所以周期 T=class="stub"2π
2
=π．
（2）当x∈[-class="stub"π
4
，class="stub"π
4
]时，-class="stub"π
4
≤2x+class="stub"π
4
≤class="stub"3π
4
，-
2
2
≤-
2
2
sin(2x+class="stub"π
4
)≤class="stub"1
2
，
所以
1-
2
2
≤class="stub"1
2
-
2
2
sin(2x+class="stub"π
4
)≤1，即
1-
2
2
≤f（x）≤1．
（3）f（x）≥1，即class="stub"1
2
-
2
2
sin(2x+class="stub"π
4
)≥1，所以sin(2x+class="stub"π
4
)≤-
2
2
，
class="stub"5π
4
+2kπ≤2x+class="stub"π
4
≤class="stub"7π
4
+2kπ，k∈Z，所以class="stub"π
2
+kπ≤x≤class="stub"3π
4
+kπ，k∈Z，
所以x∈{x|class="stub"π
2
+kπ≤x≤class="stub"3π
4
+kπ，k∈Z}．

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