已知函数f(x)=sinx+cosx,给出以下四个命题:①函数f(x)的图象可由y=2sinx的图象向右平移π4个单位而得到;②直线x=π4是函数f(x)图象的一条对称轴;③在区间[π4,5π4]上,

题目简介

已知函数f(x)=sinx+cosx,给出以下四个命题:①函数f(x)的图象可由y=2sinx的图象向右平移π4个单位而得到;②直线x=π4是函数f(x)图象的一条对称轴;③在区间[π4,5π4]上,

题目详情

已知函数f(x)=sinx+cosx,给出以下四个命题:①函数f(x)的图象可由y=
2
sinx
的图象向右平移
π
4
个单位而得到;②直线x=
π
4
是函数f(x)图象的一条对称轴;③在区间[
π
4
4
]
上,函数f(x)是减函数;④函数g(x)=f(x)•sinx的最小正周期是π.其中所有正确的命题的序号是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵f(x)=sinx+cosx∴f(x)=
2
sin(x+class="stub"π
4

y=
2
sinx
的图象向右平移class="stub"π
4
个单位得到y=
2
sin(x-class="stub"π
4
)≠f(x)=
2
sin(x+class="stub"π
4
).①不正确;
f(class="stub"π
4
)=
2
sin(class="stub"π
2
)=
2
为函数f(x)的最大值,故②正确;
class="stub"π
2
+2kπ≤x+class="stub"π
4
≤class="stub"3π
2
+2kπ
,∴class="stub"π
4
+2kπ≤x≤class="stub"5π
4
+2kπ

当k=0时,class="stub"π
4
≤x≤class="stub"5π
4
函数f(x)单调递减,故③正确;
g(x)=f(x)•sinx=sin2x+sinxcosx=class="stub"1
2
+
3
2
sin(2x-class="stub"π
4
)

∴T=class="stub"2π
2
,故④正确
故答案为:②③④

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