已知函数f(x)=2sin2x+23sinxcosx+1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间;(3)求f(x)在[0,π2]上的最值及取最值时x的值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2sin2x+23sinxcosx+1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间;(3)求f(x)在[0,π2]上的最值及取最值时x的值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2sin2x+2
3
sinxcosx+1

(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)求f(x)在[0,
π
2
]
上的最值及取最值时x的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)因为f(x)=2sin2x+2
3
sinxcosx+1
=1-cos2x+2
3
sinxcosx+1
…(1分)
=
3
sin2x-cos2x+2
=2sin(2x-class="stub"π
6
)+2
,…(3分)
所以f(x)的最小正周期T=class="stub"2π
2
.…..(4分)
(2)因为f(x)=2sin(2x-class="stub"π
6
)+2
,由2kπ-class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
(k∈Z)
,…(6分)
kπ-class="stub"π
6
≤x≤kπ+class="stub"π
3
(k∈Z)
,…..(7分)
所以f(x)的单调增区间是[kπ-class="stub"π
6
,kπ+class="stub"π
3
](k∈Z)
.…(8分)
(3)因为0≤x≤class="stub"π
2
,所以-class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
6
≤class="stub"5π
6
.…..…(9分)
所以-class="stub"1
2
≤sin(2x-class="stub"π
6
)≤1
.…..…..….(10分)
所以f(x)=2sin(2x-class="stub"π
6
)+2∈[1,4]
.…..…(12分)
2x-class="stub"π
6
=-class="stub"π
6
,即x=0时,f(x)取得最小值1.…..…(13分)
2x-class="stub"π
6
=class="stub"π
2
,即x=class="stub"π
3
时,f(x)取得最大值4.…..…(14分)

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