首页 > 已知：f（x）=2acos2x+3asin2x+a2（a∈R，a≠0为常数）．（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[-π6，π3]，f（x）的最大值大于10，求a的取值范围．-数学

已知：f（x）=2acos2x+3asin2x+a2（a∈R，a≠0为常数）．（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[-π6，π3]，f（x）的最大值大于10，求a的取值范围．-数学

题目简介

已知：f（x）=2acos2x+3asin2x+a2（a∈R，a≠0为常数）．（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[-π6，π3]，f（x）的最大值大于10，求a的取值范围．-数学

题目详情

已知：f（x）=2acos2x+
3
asin2x+a2（a∈R，a≠0为常数）．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-
π
6
，
π
3
]，f（x）的最大值大于10，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f（x）=a（1+cos2x）+
3
asin2x+a2 =2a（sin2xcosclass="stub"π
6
+cos2xsinclass="stub"π
6
）+a2+a=2asin（2x+class="stub"π
6
）+a2+a，…（3分）
所以函数的最小正周期为T=class="stub"2π
2
=π．…（4分）
（2）∵x∈[-class="stub"π
6
，class="stub"π
3
]，2x+class="stub"π
6
∈[-class="stub"π
6
，class="stub"5π
6
]，
∴sin(2x+class="stub"π
6
)∈[-class="stub"1
2
，1]．…（7分）
当a＞0时，当sin(2x+class="stub"π
6
)=1时，函数的最大值为a2+3a＞10，解得：a＞2（a＜-5舍去）．…（9分）
当a＜0时，当sin(2x+class="stub"π
6
)=-class="stub"1
2
时，函数的最大值为a2＞10，解得：a＜-
10
（a＞
10
舍去）． …（11分）
综上所述，a 的范围是：a＜-
10
或a＞2，即（-∞，-
10
）∪（2，+∞）．…（12分）

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