首页 > 已知函数f(x)=cos(2x-π3)+2sin(x-π4)sin(x+π4)．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-π12，π2]上的值域．-数学

已知函数f(x)=cos(2x-π3)+2sin(x-π4)sin(x+π4)．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-π12，π2]上的值域．-数学

题目简介

已知函数f(x)=cos(2x-π3)+2sin(x-π4)sin(x+π4)．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-π12，π2]上的值域．-数学

题目详情

已知函数f(x)=cos(2x-
π
3
)+2sin(x-
π
4
)sin(x+
π
4
)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-
π
12
，
π
2
]上的值域．
题型：解答题难度：中档来源：安徽

答案

（1）∵f(x)=cos(2x-class="stub"π
3
)+2sin(x-class="stub"π
4
)sin(x+class="stub"π
4
)
=class="stub"1
2
cos2x+
3
2
sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=class="stub"1
2
cos2x+
3
2
sin2x+sin2x-cos2x=class="stub"1
2
cos2x+
3
2
sin2x-cos2x
=sin(2x-class="stub"π
6
)
∴周期T=class="stub"2π
2
=π
由2x-class="stub"π
6
=kπ+class="stub"π
2
(k∈Z)，得x=class="stub"kπ
2
+class="stub"π
3
(k∈Z)
∴函数图象的对称轴方程为x=kπ+class="stub"π
3
(k∈Z)

（2）∵x∈[-class="stub"π
12
，class="stub"π
2
]，∴2x-class="stub"π
6
∈[-class="stub"π
3
，class="stub"5π
6
]，
因为f(x)=sin(2x-class="stub"π
6
)在区间[-class="stub"π
12
，class="stub"π
3
]上单调递增，在区间[class="stub"π
3
，class="stub"π
2
]上单调递减，
所以当x=class="stub"π
3
时，f（x）取最大值1，
又∵f(-class="stub"π
12
)=-
3
2
＜f(class="stub"π
2
)=class="stub"1
2
，当x=-class="stub"π
12
时，f（x）取最小值-
3
2
，
所以函数f（x）在区间[-class="stub"π
12
，class="stub"π
2
]上的值域为[-
3
2
，1]．

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