首页 > 已知函数f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合；（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[π4，π2]上恒成立，

已知函数f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合；（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[π4，π2]上恒成立，

题目简介

已知函数f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合；（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[π4，π2]上恒成立，

题目详情

已知函数f(x)=2sin2(
π
4
+x)-
3
cos2x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[
π
4
，
π
2
]上恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

f(x)=[1-cos(class="stub"π
2
+2x)]-
3
cos2x（1分）
=1+sin2x-
3
cos2x（2分）
=2sin(2x-class="stub"π
3
)+1，（3分）
（1）T=class="stub"2π
2
=π；（4分）
（2）2sin(2x-class="stub"π
3
)+1≥0⇒sin(2x-class="stub"π
3
)≥-class="stub"1
2
（5分）
∴2kπ-class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"5π
6
，k∈Z（6分）
∴kπ+class="stub"π
12
≤x≤kπ+class="stub"7π
12
，k∈Z，
∴使f（x）≥0成立的x的取值集合为{x|kπ+class="stub"π
12
≤x≤kπ+class="stub"7π
12
，k∈Z}；（7分）
（3）∵x∈[class="stub"π
4
，class="stub"π
2
]，
∴2x-class="stub"π
3
∈[class="stub"π
6
，class="stub"2π
3
]，
∴2≤1+2sin(2x-class="stub"π
3
)≤3，（8分）
∴[f（x）]max=3，[f（x）]min=2，
∴|f（x）-m|＜2在x∈[class="stub"π
4
，class="stub"π
2
]上恒成立，
即f（x）-2＜m＜f（x）+2在x∈[class="stub"π
4
，class="stub"π
2
]上恒成立，（9分）
∴[f（x）]max-2＜m＜[f（x）]min+2，
∴1＜m＜4，
∴实数m的取值范围为[1，4]．（10分）

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