首页 > 已知函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x-π6)+cos2x+a（a∈R，a为常数）．（I）求函数的最小正周期；（II）求函数的单调递减区间；（III）若x∈[0，π2]时，f（x）的最小

已知函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x-π6)+cos2x+a（a∈R，a为常数）．（I）求函数的最小正周期；（II）求函数的单调递减区间；（III）若x∈[0，π2]时，f（x）的最小

题目简介

已知函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x-π6)+cos2x+a（a∈R，a为常数）．（I）求函数的最小正周期；（II）求函数的单调递减区间；（III）若x∈[0，π2]时，f（x）的最小

题目详情

已知函数f(x)=sin(2x+
π
6
)+sin(2x-
π
6
)+cos2x+a（a∈R，a为常数）．
（I）求函数的最小正周期；
（II）求函数的单调递减区间；
（III）若x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最小值为-2，求a的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）f(x)=2sin2xcosclass="stub"π
6
+cos2x+a=
3
sin2x+cos2x+a=2sin(2x+class="stub"π
6
)+a
∴f（x）的最小正周期，T=class="stub"2π
ω
=class="stub"2π
2
=π
（II）因为y=sinx的减区间为：2kπ+class="stub"π
2
≤x≤2kπ+class="stub"3π
2
，k∈Z
所以2kπ+class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"3π
2
即kπ+class="stub"π
6
≤x≤kπ+class="stub"2π
3
（k∈Z）时，函数f（x）单调递减，
故所求区间为[kπ+class="stub"π
6
，kπ+class="stub"2π
3
](k∈Z)
（III）x∈[0，class="stub"π
2
]时，2x+class="stub"π
6
∈[class="stub"π
6
，class="stub"7π
6
]∴x=class="stub"π
2
时
f（x）取得最小值∴2sin(2•class="stub"π
2
+class="stub"π
6
)+a=-2×class="stub"1
2
+a=-2    ∴a=-1．

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