已知函数f(x)=cos(π3+x)cos(π3-x),g(x)=12sin2x-14.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x

题目简介

已知函数f(x)=cos(π3+x)cos(π3-x),g(x)=12sin2x-14.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x

题目详情

已知函数f(x)=cos(
π
3
+x)cos(
π
3
-x
),g(x)=
1
2
sin2x-
1
4

(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=cos(class="stub"π
3
+x)cos(class="stub"π
3
-x

=(cosclass="stub"π
3
cosx-sinclass="stub"π
3
sinx)(cosclass="stub"π
3
cosx+sinclass="stub"π
3
sinx)
=cos2class="stub"π
3
cos2x-sin2class="stub"π
3
sin2x=class="stub"1
4
cos2x-class="stub"3
4
sin2x,
∵cos2x=class="stub"1+cos2x
2
,sin2x=class="stub"1-cos2x
2

∴f(x)=class="stub"1
4
×class="stub"1+cos2x
2
-class="stub"3
4
×class="stub"1-cos2x
2
=class="stub"1
2
cos2x-class="stub"1
4

因此,函数f(x)的最小正周期T=class="stub"2π
2
=π;
(2)由(1)得f(x)=class="stub"1
2
cos2x-class="stub"1
4

∴h(x)=f(x)-g(x)=class="stub"1
2
cos2x-class="stub"1
4
-(class="stub"1
2
sin2x-class="stub"1
4
)=class="stub"1
2
sin2x-class="stub"1
2
cos2x
class="stub"1
2
sin2x-class="stub"1
2
cos2x=
2
2
sin(2x-class="stub"π
4

∴当2x-class="stub"π
4
=class="stub"π
2
+2kπ,即x=class="stub"3π
8
+kπ(k∈Z)时,class="stub"1
2
sin2x-class="stub"1
2
cos2x取得最大值为
2
2

由此可得使h(x)取得最大值的x的集合为{x|x=class="stub"3π
8
+kπ,k∈Z}

更多内容推荐