已知f(x)=3sinx4cosx4+cos2x4+12.(1)求f(x)的周期及其图象的对称中心;(2)△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,满足(2a-c)cosB=bcosC,求f(

题目简介

已知f(x)=3sinx4cosx4+cos2x4+12.(1)求f(x)的周期及其图象的对称中心;(2)△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,满足(2a-c)cosB=bcosC,求f(

题目详情

已知f(x)=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4
+
1
2

(1)求f(x)的周期及其图象的对称中心;
(2)△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,满足(2a-c)cosB=bcosC,求f(B)的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵已知f(x)=
3
sinclass="stub"x
4
cosclass="stub"x
4
+cos2class="stub"x
4
+class="stub"1
2
=
3
2
sinclass="stub"x
2
+class="stub"1
2
cosclass="stub"x
2
+1=sin(class="stub"x
2
+class="stub"π
6
)+1,
故f(x)的周期为 class="stub"2π
class="stub"1
2
=4π.
由sin(class="stub"x
2
+class="stub"π
6
)=0 求得 class="stub"x
2
+class="stub"π
6
=kπ,k∈z,即 x=2kπ-class="stub"π
3
,故函数的图象的对称中心为(2kπ-class="stub"π
3
,0).
(2)△ABC中,∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理可得 (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
化简可得2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,∴cosB=class="stub"1
2
,∴B=class="stub"π
3

∴f(B)=sin(class="stub"π
6
+class="stub"π
6
)+1=
3
2
+1.

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