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已知a=(sinx，3cosx），b=（cosx，cosx），f（x）=a•b．（1）若a⊥b，求x的取值集合；（2）求函数f（x）的周期及增区间．-数学

题目简介

已知a=(sinx，3cosx），b=（cosx，cosx），f（x）=a•b．（1）若a⊥b，求x的取值集合；（2）求函数f（x）的周期及增区间．-数学

题目详情

已知
a
=(sinx，
3
cosx），
b
=（cosx，cosx），f（x）=
a
•
b
．
（1）若
a
⊥
b
，求x的取值集合；（2）求函数f（x）的周期及增区间．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
a
⊥
b
，∴
a
•
b
=0，
而
a
•
b
=sinxcosx+
3
cos2x=class="stub"1
2
sin2x+
3
2
cos2x+
3
2
=sin（2x+class="stub"π
3
）+
3
2
，
∴sin（2x+class="stub"π
3
）+
3
2
=0，即sin（2x+class="stub"π
3
）=-
3
2
，
∴2x+class="stub"π
3
=2kπ-class="stub"2π
3
或2x+class="stub"π
3
=2kπ-class="stub"π
3
（k∈Z），
解得：x=kπ-class="stub"π
2
或x=kπ-class="stub"π
3
（k∈Z），
∴x的取值集合为{x|x=kπ-class="stub"π
2
或x=kπ-class="stub"π
3
（k∈Z）}；
（2）∵f（x）=
a
•
b
=sin（2x+class="stub"π
3
）+
3
2
，∴f（x）的周期T=class="stub"2π
2
=π，
∵y=sinx的增区间为[2kπ-class="stub"π
2
，2kπ+class="stub"π
2
]（k∈Z），
由2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"π
2
，解得：kπ-class="stub"5π
12
≤x≤kπ+class="stub"π
12
，
∴f（x）的增区间为[kπ-class="stub"5π
12
，kπ+class="stub"π
12
]（k∈Z）．

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