设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4，(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(x)在（-∞，+∞）内无极值

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设函数f(x)=x³+bx²+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4，
(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若f(x)在（-∞，+∞）内无极值点，求a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：北京高考真题

答案

解：由f(x)=x3+bx2+cx+d得f′(x)=ax2+2bx+c，
因为f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1，4，
所以，，（*）
(Ⅰ)当a=3时，由(*)式得，
解得b=-3，c=12，
又因为曲线y=f(x)过原点，所以d=0，
故f(x)=x3-3x2+12x．
(Ⅱ)由于a＞0，所以“f(x)=x3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“f'(x)=ax2+2bx+c≥0在（-∞，+∞）内恒成立”，
由（*）式得2b=9-5a，c=4a，
又Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)，
解得，
即a的取值范围是[1，9]．

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设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4，(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(x)在（-∞，+∞）内无极值

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