在直角坐标系xOy中,设A点是曲线C1:y=ax3+1(a>0)与曲线C2:x2+y2=52的一个公共点,若C1与C2在A点处的切线互相垂直,则实数a的值是______.-数学

题目简介

在直角坐标系xOy中,设A点是曲线C1:y=ax3+1(a>0)与曲线C2:x2+y2=52的一个公共点,若C1与C2在A点处的切线互相垂直,则实数a的值是______.-数学

题目详情

在直角坐标系xOy中,设A点是曲线C1:y=ax3+1(a>0)与曲线C2x2+y2=
5
2
的一个公共点,若C1与C2在A点处的切线互相垂直,则实数a的值是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

设点A的坐标为(x0,y0),代入两曲线方程得:
y0=ax03+1①,x02+y02=class="stub"5
2
②,
由曲线C1:y=ax3+1得:y′=3ax2,
则曲线C1在A处的切线的斜率k=3ax02,
所以C1在A处的切线方程为:y=3ax02(x-x0)+y0,
由C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,
得到切线方程y=3ax02(x-x0)+y0过圆C2的圆心(0,0),
则有3ax02(0-x0)+y0=0,即y0=3ax03③,
把③代入①得:a=class="stub"1
2x03
④,④代入③得:y0=class="stub"3
2
⑤,⑤代入②得:x0=±class="stub"1
2

当x0=class="stub"1
2
时,代入④得:a=4;当x0=-class="stub"1
2
时,代入④得:a=-4(由a>0,不合题意,舍去).
则实数a的值为4.
故答案为4.

更多内容推荐