已知函数f(x)=ax3+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程为y=2x-1.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在[0,m]上有最小值1927,求实数m的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=ax3+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程为y=2x-1.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在[0,m]上有最小值1927,求实数m的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=ax3+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程为y=2x-1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在[0,m]上有最小值
19
27
,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=ax3+bx2+c,
∴f′(x)=3ax2+2bx,
∵函数f(x)=ax3+bx2+c的图象过点(0,1),
且在x=1处的切线方程为y=2x-1,
f(0)=c=1
f(x)=3a+2b=2
a+b+c-2=-1

解得a=2,b=-2,c=1,
∴f(x)=2x3-2x2+1.
(2)∵f(x)=2x3-2x2+1,
∴f′(x)=6x2-4x,
令f′(x)=6x2-4x=0,得x1=0,x2=class="stub"2
3

∵f(0)=1,
f(class="stub"2
3
)=4×class="stub"8
27
-2×class="stub"4
9
+1=class="stub"19
27

∵f(x)在[0,m]上有最小值class="stub"19
27

∴m≥class="stub"2
3

∴实数m的取值范围[class="stub"2
3
,+∞).

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