已知在数列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=t是函数f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一个极值点．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若12＜t

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已知在数列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²，其中t＞0，x=

是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若

＜t＜2，b_n=

2an

（n∈N^*），求证：

+…+

＜2ⁿ-2-

．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意得：f′（

）=0，
即3an-1t-3[（t+1）an-an+1]=0
故an+1-an=t（an-an-1）（n≥2），
则当t≠1时，数列{an+1-an}是以t2-t为首项，t为公比的等比数列，
所以an+1-an=（t2-t）tn-1
由an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=t+（t2-t）[1+t+t2+…+tn-2]
=t+（t2-t）•

1-tn-1

1-t

=tn
此式对t=1也成立，所以an=tn（n∈N*）．
（2）class="stub"1

=class="stub"1

（an+class="stub"1

）=class="stub"1

（tn+t-n），
因为class="stub"1

＜t＜2，所以（2t）n＞1，tn＜2n．
则（2n+2-n）-（tn+t-n）=class="stub"1

(2t)n

（2n-tn）[（2t）n-1]＞0，
有class="stub"1

＜class="stub"1

（2n+2-n），
故class="stub"1

+class="stub"1

+…+class="stub"1

＜class="stub"1

[（2+class="stub"1

）+（22+class="stub"1

）+…+（2n+class="stub"1

）]=2n-class="stub"1

（1+class="stub"1

），
∵1+class="stub"1

＞2

class="stub"1

∴class="stub"1

+class="stub"1

+…+class="stub"1

＜2n-

class="stub"1

=2n-2-class="stub"n

即证．

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已知在数列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=t是函数f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一个极值点．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若12＜t

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