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已知函数f（x）=lnx+x2-ax．（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（II）当a=3时，求出f（x）的极值：（III）在（I）的条件下，若f(x)≤12(3x2+1x2

题目简介

已知函数f（x）=lnx+x2-ax．（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（II）当a=3时，求出f（x）的极值：（III）在（I）的条件下，若f(x)≤12(3x2+1x2

题目详情

已知函数f（x）=lnx+x2-ax．
（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（II）当a=3时，求出f（x）的极值：
（III）在（I）的条件下，若f(x)≤
1
2
(3x2+
1
x2
-6x)在x∈（0，1]内恒成立，试确定a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：和平区二模

答案

（Ⅰ）函数f（x）=lnx+x2-ax（x＞0），则f′（x）=class="stub"1
x
+2x-a（x＞0）．
∵函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即class="stub"1
x
+2x-a≥0在（0，+∞）上恒成立．
∴class="stub"1
x
+2x≥a．
∵当x＞0时，class="stub"1
x
+2x≥2
2
，当且仅当class="stub"1
x
=2x，即x=
2
2
时等号成立．
∴a的取值范围是（-∞，2
2
]；
（Ⅱ）当a=3时，f′(x)=
(2x-1)(x-1)
x
(x＞0)
当0＜x＜class="stub"1
2
或x＞1时，f′（x）＞0，
当class="stub"1
2
＜x＜1时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，class="stub"1
2
）和（1，+∞）上是增函数，在（class="stub"1
2
，1）上是减函数，
∴f（x）极大值=f（class="stub"1
2
）=-class="stub"5
4
-ln2，f（x）极小值=f（1）=-2
（III）设g(x)=f(x)-class="stub"1
2
(3x2+class="stub"1
x2
-6x)=lnx-class="stub"1
2
x2+(3-a)x-class="stub"1
2x2

∴g′（x）=(class="stub"1
x
-x)+(3-a)+class="stub"1
x3

∵a∈（-∞，2
2
]，且x∈（0，1]
∴g′（x）＞0
∴g（x）在（0，1）内为增函数
∴g（x）max=g（1）=2-a
∵f(x)≤class="stub"1
2
(3x2+class="stub"1
x2
-6x)在x∈（0，1]内恒成立，
∴2-a≤0，解得a≥2．

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