首页 > 已知f（x）=lnx，g(x)=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；（Ⅱ）若h（x）=f

已知f（x）=lnx，g(x)=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；（Ⅱ）若h（x）=f

题目简介

已知f（x）=lnx，g(x)=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；（Ⅱ）若h（x）=f

题目详情

已知f（x）=lnx，g(x)=
1
2
x2+mx+
7
2
（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，总有ln(1+
1
2
)+ln(1+
1
22
)+…+ln(1+
1
2n
)＜1-
1
2n
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）依题意知直线l的斜率k=f′(1)=class="stub"1
1
=1，
∵f（1）=0，故直线l与函数f（x）的图象的切点坐标是（1，0），
∴直线l的方程为y=x-1；
又∵直线l与g（x）的图象也相切，
∴由
y=x-1
y=class="stub"1
2
x2+mx+class="stub"7
2
得x2+2（m-1）x+9=0，
令△=（m-1）2-9=0，∵m＜0
∴解得m=-2；

（II）∵g'（x）=x+m=x-2，
∴h（x）=f（x+1）-g'（x）=ln（x+1）-x+2，
∴h′(x)=class="stub"1
x+1
-1=class="stub"-x
x+1
，
令h'（x）＞0，解得-1＜x＜0，令h'（x）＜0，解得x＜-1（舍去）或x＞0，
∴h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2；

（Ⅲ）∵由（II）知：当x＞-1时，h（x）≤2，即ln（x+1）-x+2≤2，
∴当x＞-1时，ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时等号成立，
∵class="stub"1
2n
＞0，故ln(1+class="stub"1
2n
)＜class="stub"1
2n
，
∴ln(1+class="stub"1
2
)+ln(1+class="stub"1
22
)+…+ln(1+class="stub"1
2n
)＜class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+…+class="stub"1
2n
=
class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n
)
1-class="stub"1
2
=1-class="stub"1
2n
．

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