已知a∈R,函数f(x)=ax+lnx-1.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值.-数学

题目简介

已知a∈R,函数f(x)=ax+lnx-1.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值.-数学

题目详情

已知a∈R,函数f(x)=
a
x
+lnx-1

(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当a=1时,f(x)=class="stub"1
x
+lnx-1
,x∈(0,+∞),
所以f′(x)=-class="stub"1
x2
+class="stub"1
x
=class="stub"x-1
x2
,x∈(0,+∞).…(2分)
因此f′(2)=class="stub"1
4

即曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为class="stub"1
4
.…(4分)
f(2)=ln2-class="stub"1
2

所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(ln2-class="stub"1
2
)=class="stub"1
4
(x-2)

即x-4y+4ln2-4=0.…(6分)
(2)因为f(x)=class="stub"a
x
+lnx-1
,所以f′(x)=-class="stub"a
x2
+class="stub"1
x
=class="stub"x-a
x2

令f'(x)=0,得x=a. …(8分)
①若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值.
②若0<a<e,当x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,
当x∈(a,e]时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,
所以当x=a时,函数f(x)取得最小值lna.…(10分)
③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f'(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,
所以当x=e时,函数f(x)取得最小值class="stub"a
e
.…(12分)
综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值;
当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为lna;
当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为class="stub"a
e
.…(13分)

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