首页 > 设函数f(x)=3x+4x2+1，g(x)=6a2x+a，a＞13．（1）求函数f（x）的极大值与极小值；（2）若对函数的x0∈[0，a]，总存在相应的x1，x2∈[0，a]，使得g（x1）≤f（x0

设函数f(x)=3x+4x2+1，g(x)=6a2x+a，a＞13．（1）求函数f（x）的极大值与极小值；（2）若对函数的x0∈[0，a]，总存在相应的x1，x2∈[0，a]，使得g（x1）≤f（x0

题目简介

设函数f(x)=3x+4x2+1，g(x)=6a2x+a，a＞13．（1）求函数f（x）的极大值与极小值；（2）若对函数的x0∈[0，a]，总存在相应的x1，x2∈[0，a]，使得g（x1）≤f（x0

题目详情

设函数f(x)=
3x+4
x2+1
，g(x)=
6a2
x+a
，a＞
1
3
．
（1）求函数f（x）的极大值与极小值；
（2）若对函数的x0∈[0，a]，总存在相应的x1，x2∈[0，a]，使得g（x1）≤f（x0）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）定义域为R f′(x)=
3(x2+1)-(3x+4)•2x
(x2+1)2
=
-(3x-1)(x+3)
(x2+1)2

x（-∞，-3）-3(-3，class="stub"1
3
)		class="stub"1
3
(class="stub"1
3
，+∞)
f'（x）-0+0-
f（x）↘极小值↗极大值↘
令f′(x)=0，x1=-3．x2=class="stub"1
3
，且

∴f（x）：极大值为f(class="stub"1
3
)=class="stub"9
2

极小值为f(-3)=-class="stub"1
2


（2）依题意，只需在区间[0，a]上有[f（x）]max≤[g（x）]max且[f（x）]min≥[g（x）]min
∴f（x）在[0，class="stub"1
3
]↑，[class="stub"1
3
，a]↓⇒[f(x)]max=f(class="stub"1
3
)=class="stub"9
2
，f(x)取小值f（0）或f（a）
又f(0)=4，f(a)=class="stub"3k+4
a2+1
，f(a)-f(0)=
a(3-4a)
a2+1

∴当class="stub"1
3
＜a＜class="stub"3
4
时，[f（x）]min=f（0）=4，当a≥class="stub"3
4
时，[f(x)]min=f(a)=class="stub"3a+4
a2+1

又g（x）在[0，a]↓⇒[g（x）]max=g（0）=6a，[g（x）]min=g（a）=3a
∴当class="stub"1
3
＜a＜class="stub"3
4
时，class="stub"9
2
≤6a；当a≥class="stub"4
3
时，class="stub"3a+4
a2+1
≥3a
∴class="stub"3
4
≤a≤
3class="stub"4
3

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