首页 > 已知函数f(x)=a3x3-a+12x2+x+b，其中a，b∈R．（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；（2）当a＞0且a≠0时，讨论函数f

已知函数f(x)=a3x3-a+12x2+x+b，其中a，b∈R．（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；（2）当a＞0且a≠0时，讨论函数f

题目简介

已知函数f(x)=a3x3-a+12x2+x+b，其中a，b∈R．（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；（2）当a＞0且a≠0时，讨论函数f

题目详情

已知函数f(x)=
a
3
x3-
a+1
2
x2+x+b，其中a，b∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；
（2）当a＞0且a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）当a=3时，若方程f（x）=0有三个根，求b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）求导函数得f′（x）=ax2-（a+1）x+1
∵若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4
∴f′（2）=4a-2（a+1）+1=5
∴2a=6，∴a=3
∵点P（2，f（2））在切线方程y=5x-4上
∴f（2）=5×2-4=6，∴2+b=6，∴b=4
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x3-2x2+x+4；
（2）f′（x）=ax2-（a+1）x+1=a(x-class="stub"1
a
)(x-1)
①当0＜a＜1，即class="stub"1
a
＞1时，函数f（x）在区间（-∞，1）及（class="stub"1
a
，+∞）上为增函数；在区间（1，class="stub"1
a
）上为减函数；
②当a＞1，即class="stub"1
a
＜1时，函数f（x）在区间（-∞，class="stub"1
a
）及（1，+∞）上为增函数；在区间（class="stub"1
a
，1）上为减函数；
（3）由（2）得，函数f（x）在区间（-∞，class="stub"1
3
）及（1，+∞）上为增函数；在区间（class="stub"1
3
，1）上为减函数；
∴f(x)极大值=f(class="stub"1
3
)=class="stub"4
27
+b，f（x）极小值=f（1）=b
∵方程f（x）=0有三个根，
∴f(x)极大值=f(class="stub"1
3
)=class="stub"4
27
+b＞0，f（x）极小值=f（1）=b＜0
∴-class="stub"4
27
＜b＜0
∴b的取值范围为(-class="stub"4
27
，0)．

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