已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R)(Ⅰ)证明:曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2);(Ⅱ)若f(x)在x=x0处取得极小值,x0∈(1,3),求a的取值范围

题目简介

已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R)(Ⅰ)证明:曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2);(Ⅱ)若f(x)在x=x0处取得极小值,x0∈(1,3),求a的取值范围

题目详情

已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R)
(Ⅰ)证明:曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2);
(Ⅱ)若f(x)在x=x0处取得极小值,x0∈(1,3),求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)f′(x)=3x2+6ax+3-6a
由f(0)=12a-4,f′(0)=3-6a,
可得曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=(3-6a)x+12a-4,
当x=2时,y=2(3-6a)+12a-4=2,可得点(2,2)在切线上
∴曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2)
(Ⅱ)由f′(x)=0得  
x2+2ax+1-2a=0…(1)
方程(1)的根的判别式
△=4a2-4(1-2a)=4(a+1+
2
) (a+1-
2
)

①当-
2
-1≤a≤
2
-1
时,函数f(x)没有极小值
②当a<-
2
-1
a>
2
-1
时,
由f′(x)=0得x1=-a- 
a2+2a-1
x2=-a+ 
a2+2a-1

故x0=x2,由题设可知1<-a+
a2+2a-1
<3

(i)当a>
2
-1
时,不等式1<-a+
a2+2a-1
<3
没有实数解;
(ii)当a<-
2
-1
时,不等式1<-a+
a2+2a-1
<3

化为-a+1<
a2+2a-1
<3-a

解得-class="stub"5
2
<a< -
2
-1

综合①②,得a的取值范围是(-class="stub"5
2
,-
2
-1)

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