首页 > 设函数f（x）=x（x-1）2．（1）求f（x）的极小值；（2）讨论函数F（x）=f（x）+2x2-x-2axlnx零点的个数，并说明理由？（3）设函数g（x）=ex-2x2+4x+t（t为常数），若

设函数f（x）=x（x-1）2．（1）求f（x）的极小值；（2）讨论函数F（x）=f（x）+2x2-x-2axlnx零点的个数，并说明理由？（3）设函数g（x）=ex-2x2+4x+t（t为常数），若

题目简介

设函数f（x）=x（x-1）2．（1）求f（x）的极小值；（2）讨论函数F（x）=f（x）+2x2-x-2axlnx零点的个数，并说明理由？（3）设函数g（x）=ex-2x2+4x+t（t为常数），若

题目详情

设函数f（x）=x（x-1）2．
（1）求f（x）的极小值；
（2）讨论函数F（x）=f（x）+2x2-x-2axlnx零点的个数，并说明理由？
（3）设函数g（x）=ex-2x2+4x+t（t为常数），若使3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数t的值．（e7＞103）
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）=x（x-1）2=x3-2x2+x，
∴f′（x）=3x2-4x+1，
令f′（x）=3x2-4x+1=0，得x1=class="stub"1
3
，x2=1，
列表讨论
 x （-∞，class="stub"1
3
）		 class="stub"1
3
 （class="stub"1
3
，1）		 1（1，+∞） 
 f′（x）+ 0- 0+
 f（x）↑ 极大值↓ 极小值↑
由上表知：f（x）的增区间是 （-∞，class="stub"1
3
），（1，+∞），减区间是（class="stub"1
3
，1），
∴当x=1时，f（x）取极小值f（1）=0．…3分
（2）∵f（x）=x（x-1）2=x3-2x2+x，
∴F（x）=f（x）+2x2-x-2axlnx=x3-2axlnx，
∵x＞0，∴由F（x）=x3-2axlnx=0，得x2=2alnx，
∴当0≤a＜e时，函数零点的个数为0；
当a＜0或a=e时，函数零点的个数为1；
当a＞e时，函数零点的个数为2．
（3）∵g（x）=ex-2x2+4x+t，
∴由3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，得
3-x3+2x2-x≤x+m≤ex-2x2+4x+t在[0，+∞）上恒成立，
∴h1（x）=x+m-（3-x3+2x2-x）=x3-2x2+2x+m-3≥0在[0，+∞）上恒成立，
∵h1′（x）=3x2-4x+2=3（x-class="stub"2
3
）2+class="stub"2
3
≥class="stub"2
3
，
∴h1（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴h1（x）在[0，+∞）上的最小值h1（x）min=h1（0）=m-3≥0．
∴m≥3，
∵实数m有且只有一个，
∴m=3
h2（x）=ex-2x2+4x+t-x-m=ex-2x2+3x+t-3≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴h2（x）=ex-2x2+3x+t≥3在[0，+∞）上恒成立，
当x=0时，h2（0）=1+t≥3，
∴t≥2．

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