已知f(x)=cos2x+23sinxcosx,(x∈R)(1)求f(x)的最大值M和最小正周期T;(2)求f(x)的单调减区间;(3)20个互不相等的正数an满足f(an)=M,且an<20π(n=

题目简介

已知f(x)=cos2x+23sinxcosx,(x∈R)(1)求f(x)的最大值M和最小正周期T;(2)求f(x)的单调减区间;(3)20个互不相等的正数an满足f(an)=M,且an<20π(n=

题目详情

已知 f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx,(x∈R)

(1)求 f(x)的最大值 M 和最小正周期 T;
(2)求 f(x)的单调减区间;
(3)20个互不相等的正数 an满足f(an)=M,且an<20π(n=1,2,…,20),
试求:a1+a2+…+a20的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx=
3
sin2x+cos2x=2sin(2x+class="stub"π
6
)
(2分)
(1)M=2,T=class="stub"2π
2
;(4分)
(2)∵y=sinx的单调减区间为[2kπ+class="stub"π
2
,2kπ+class="stub"3π
2
](k∈Z)
(5分)
2kπ+class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"3π
2
,k∈Z得kπ+class="stub"π
6
≤x≤kπ+class="stub"2π
3
,k∈Z
(7分)
∴函数f(x)的单调减区间为[kπ+class="stub"π
6
,kπ+class="stub"2π
3
](k∈Z)
(8分)
(3)∵f(an)=M=2,∴2an+class="stub"π
6
=2kπ+class="stub"π
2
an=kπ+class="stub"π
6
,(k∈Z)
(10分)
又∵0<an<20π,∴k=0,1,2,,19
a1+a2++a20=(1+2++19)π+20×class="stub"π
6
=class="stub"19×20π
2
+class="stub"10π
3
=class="stub"580π
3
.(13分)

更多内容推荐