已知函数f（x）=ln（x+1）+ax．（1）当x=0时，函数f（x）取得极大值，求实数a的值；（2）若存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数a的取

题目简介

已知函数f（x）=ln（x+1）+ax．
（1）当x=0时，函数f（x）取得极大值，求实数a的值；
（2）若存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数a的取值范围；
（3）求函数f（x）的单调区间．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）f′（x）=class="stub"1

x+1

+a
由f′（0）=0，得a=-1，此时f′（x）=class="stub"1

x+1

-1．
当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
∴函数f（x）在x=0处取得极大值，故a=-1．
（2）∵f′（x）≥2x，∴class="stub"1

x+1

+a≥2x，∴a≥2x-class="stub"1

x+1

．
令g（x）=2x-class="stub"1

x+1

（1≤x≤2），
∴g′（x）=2+class="stub"1

(x+1)2

＞0，∴g（x）在[1，2]上是增函数，
∴a≥g（1）=class="stub"3

．存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立．
（3）f′（x）=class="stub"1

x+1

+a．
∵class="stub"1

x+1

＞0，
∴当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数．
当a＜0时，令f′（x）=0，x=-class="stub"1

-1；
若x∈（-1，-class="stub"1

-1）时，f′（x）＞0，
若x∈（-class="stub"1

-1，+∞）时，f′（x）＜0；
综上，当a≥0时，函数f（x）递增区间是（-1，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）递增区间是：（-1，-class="stub"1

-1），递减区间是：（-class="stub"1

-1，+∞）．