给定函数f(x)=x33-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+a2x（I）求证：f（x）总有两个极值点；（II）若f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值．-数学

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给定函数f(x)=

-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+

（I）求证：f（x）总有两个极值点；
（II）若f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

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证明：（I）因为f'（x）=x2-2ax+（a2-1）=[x-（a+1）][x-（a-1）]，
令f'（x）=0，则x1=a+1，x2=a-1，------------------------------------------（2分）
则当x＜a-1时，f'（x）＞0，当a-1＜x＜a+1，f'（x）＜0
所以x=a-1为f（x）的一个极大值点，-----------------------（4分）
同理可证x=a+1为f（x）的一个极小值点．-------------------------------------（5分）
另（I）因为f′（x）=x2-2ax+（a2-1）是一个二次函数，
且△=（-2a）2-4（a2-1）=4＞0，-------------------------------------（2分）
所以导函数有两个不同的零点，
又因为导函数是一个二次函数，
所以函数f（x）有两个不同的极值点．---------------------------------------（5分）
（II）因为g′(x)=1-

(x-a)(x+a)

，
令g'（x）=0，则x1=a，x2=-a---------------------------------------（6分）
因为f（x）和g（x）有相同的极值点，且x1=a和a+1，a-1不可能相等，
所以当-a=a+1时，a=-class="stub"1

，当-a=a-1时，a=class="stub"1

，
经检验，a=-class="stub"1

和a=class="stub"1

时，x1=a，x2=-a都是g（x）的极值点．--------------（8分）

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给定函数f(x)=x33-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+a2x（I）求证：f（x）总有两个极值点；（II）若f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值．-数学

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