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若(x+124x)n展开式中前三项的系数成等差数列，求：（1）展开式中所有x的有理项；（2）展开式中系数最大的项．-数学

题目简介

若(x+124x)n展开式中前三项的系数成等差数列，求：（1）展开式中所有x的有理项；（2）展开式中系数最大的项．-数学

题目详情

若(
x
+
1
2 
4x
)n展开式中前三项的系数成等差数列，求：
（1）展开式中所有x的有理项；
（2）展开式中系数最大的项．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

易求得展开式前三项的系数为 1，class="stub"1
2
C1n
，class="stub"1
4
C2n
．（2分）
据题意 2×class="stub"1
2
C1n
=1+class="stub"1
4
C2n
（3分）⇒n=8（4分）
（1）设展开式中的有理项为Tr+1，由Tr+1=
Cr8
(
x
)8-r(class="stub"1
2
4x
)r=(class="stub"1
2
)r
Cr8
xclass="stub"16-3r
4

∴r为4的倍数，又0≤r≤8，∴r=0，4，8．（6分）
Tr+1=
Cr8
(
x
)8-r(class="stub"1
2
4x
)r=(class="stub"1
2
)r
Cr8
xclass="stub"16-3r
4

故有理项为：T1=(class="stub"1
2
)0
C08
xclass="stub"16-3×0
4
=x4，
T5=(class="stub"1
2
)4
C48
xclass="stub"16-3×4
4
=class="stub"35
8
x，
T9=(class="stub"1
2
)8
C88
xclass="stub"16-3×8
4
=class="stub"1
256x2
．（8分）
（2）设展开式中Tr+1项的系数最大，则：(class="stub"1
2
)r
Cr8
≥(class="stub"1
2
)r+1
Cr+18
且(class="stub"1
2
)r
Cr8
≥(class="stub"1
2
)r-1
Cr-18
（10分）
⇒r=2或r=3
故展开式中系数最大项为：T3=(class="stub"1
2
)2
C28
xclass="stub"16-3×2
4
=7xclass="stub"5
2
T4=(class="stub"1
2
)3
C38
xclass="stub"16-3×3
4
=7xclass="stub"7
4
．（12分）

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