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已知数列an的前n项和Sn=-an-(12)n-1+2(n∈N*)（1）令bn=2nan，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式．（2）令cn=n+1nan，Tn=c1+c2+…+cn，试比

题目简介

已知数列an的前n项和Sn=-an-(12)n-1+2(n∈N*)（1）令bn=2nan，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式．（2）令cn=n+1nan，Tn=c1+c2+…+cn，试比

题目详情

已知数列an的前n项和Sn=-an-(
1
2
)n-1+2(n∈N*)
（1）令bn=2nan，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式．
（2）令cn=
n+1
n
an，Tn=c1+c2+…+cn，试比较Tn与
5n
2n+1
的大小，并予以证明．
题型：解答题难度：中档来源：湖北

答案

（1）在Sn=-an-(class="stub"1
2
)n-1+2(n∈N*)中，令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，即a1=class="stub"1
2

当n≥2时，Sn-1=-an-1-(class="stub"1
2
)n-2+2
所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(class="stub"1
2
)n-1
所以2an=an-1+(class="stub"1
2
)n-1，即2nan=2n-1an-1+1
因为bn=2nan，所以bn=bn-1+1，即当n≥2时，bn-bn-1=1
又b1=2a1=1，所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列
于是bn=1+（n-1）•1=n=2nan，所以an=class="stub"n
2n

（2）由1）得cn=class="stub"n+1
n
an=(n+1)(class="stub"1
2
)n
所以Tn=2×class="stub"1
2
+3×(class="stub"1
2
)2+…+(n+1)×(class="stub"1
2
)n①class="stub"1
2
Tn=2×(class="stub"1
2
)2+3×(class="stub"1
2
)3++n•(class="stub"1
2
)n+(n+1)•(class="stub"1
2
)n+1②
由①-②得class="stub"1
2
Tn=class="stub"3
2
-class="stub"n+3
2n+1

所以Tn=3-class="stub"n+3
2n
Tn-class="stub"5n
2n+1
=3-class="stub"n+3
2n
-class="stub"5n
2n+1
=
(n+3)(2n-2n-1)
2n(2n+1)

于是确定Tn与class="stub"5n
2n+1
的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．
猜想当n=1，2时，2n＜2n+1，当n≥3时，2n＞2n+1
下面用数学归纳法证明：
当n=3时，显然成立
假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立
则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以当n=k+1时，猜想也成立．
于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立
综上所述，当n=1，2时，Tn＜class="stub"5n
2n+1
，
当n≥3时，Tn＞class="stub"5n
2n+1

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