首页 > 已知数列{an}中，an=2-1an-1（n≥2，n∈N+），（1）若a1=35，数列{bn}满足bn=1an-1（n∈N+），求证数列{bn}是等差数列；（2）若a1=35，求数列{an}中的最大项

已知数列{an}中，an=2-1an-1（n≥2，n∈N+），（1）若a1=35，数列{bn}满足bn=1an-1（n∈N+），求证数列{bn}是等差数列；（2）若a1=35，求数列{an}中的最大项

题目简介

已知数列{an}中，an=2-1an-1（n≥2，n∈N+），（1）若a1=35，数列{bn}满足bn=1an-1（n∈N+），求证数列{bn}是等差数列；（2）若a1=35，求数列{an}中的最大项

题目详情

已知数列{an}中，an=2-
1
an-1
（n≥2，n∈N+），
（1）若a1=
3
5
，数列{bn}满足bn=
1
an-1
（n∈N+），求证数列{bn}是等差数列；
（2）若a1=
3
5
，求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由；
（3）若1＜a1＜2，试证明：1＜an+1＜an＜2．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）bn=class="stub"1
an-1
=class="stub"1
2-class="stub"1
an-1
-1
=
an-1
an-1-1
，而bn-1=class="stub"1
an-1-1
，
∴bn-bn-1=
an-1
an-1-1
-class="stub"1
an-1-1
=1．（n∈N+）
∴{bn}是首项为b1=class="stub"1
a1-1
=-class="stub"5
2
，公差为1的等差数列．
（2）依题意有an-1=class="stub"1
bn
，而bn=-class="stub"5
2
+(n-1)•1=n-3.5，
∴an-1=class="stub"1
n-3.5
．对于函数y=class="stub"1
x-3.5
，
在x＞3.5时，y＞0，y′=-class="stub"1
(x-3.5)2
＜0，
在（3.5，+∞）上为减函数．且y＞0，故当n=4时，an=1+class="stub"1
n-3.5
取最大值3．
而函数y=class="stub"1
x-3.5
在x＜3.5时，y＜0，y′=-class="stub"1
(x-3.5)2
＜0，
在（-∞，3.5）上也为减函数．且y＜0，故当n=3时，取最小值，a3=-1．
∴数列{an}中的最大项是a4=3；最小项是a3=-1
（3）先用数学归纳法证明1＜an＜2，再证明an+1＜an．①当n=1时，1＜a1＜2成立；
②假设当n=k时命题成立，即1＜ak＜2，
当n=k+1时，class="stub"1
2
＜class="stub"1
ak
＜1⇒ak+1=2-class="stub"1
ak
∈(1，class="stub"3
2
)⇒1＜ak+1＜2故当n=k+1时也成立，
综合①②有，命题对任意n∈N+时成立，即1＜an＜2．
（也可设f(x)=2-class="stub"1
x
（1≤x≤2），则f′(x)=class="stub"1
x2
＞0，
故1=f（1）＜ak+1=f(ak)＜f(2)=class="stub"3
2
＜2）．
进而证明an+1＜an
∵an+1-an=2-(an+class="stub"1
an
)＜2-2
an•class="stub"1
an
=0
∴an+1＜an

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网