首页 > 已知数列{a}满足an=2an-1+2n+2（n≥2，a1=2），（1）求a2，a3，a4（2）是否存在一个实数λ，使得数列{an+λ2n}成等差数列，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；（3）

已知数列{a}满足an=2an-1+2n+2（n≥2，a1=2），（1）求a2，a3，a4（2）是否存在一个实数λ，使得数列{an+λ2n}成等差数列，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；（3）

题目简介

已知数列{a}满足an=2an-1+2n+2（n≥2，a1=2），（1）求a2，a3，a4（2）是否存在一个实数λ，使得数列{an+λ2n}成等差数列，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；（3）

题目详情

已知数列{a}满足an=2an-1+2n+2（n≥2，a1=2），
（1）求a2，a3，a4
（2）是否存在一个实数λ，使得数列{
an+λ
2n
}成等差数列，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（3）求数列{an}的前n项和，证明：Sn≥n3+n2．
题型：解答题难度：中档来源：淄博一模

答案

（1）∵an=2an-1+2n+2（n≥2，a1=2），
∴a2=4+4+2=10，a3=20+8+2=30a4=60+16+2=78；
（2）假设存在一个实数λ，使得数列{
an+λ
2n
}成等差数列，则
an+λ
2n
-
an-1+λ
2n-1
=1+class="stub"2-λ
2n
恒为常数
∴2-λ=0，即λ=2
此时
a1+2
2
=2，
a2+2
2
-
a1+2
2
=1
当λ=2时，数列{
an+λ
2n
}是首项为2、公差为1的等差数列
（3）证明：由（2）得
an+λ
2n
=
a1+2
2
+(n-1)=n+1
∴an=(n+1)•2n-2
∴Sn=2•2+3•22+…+（n+1）•2n-2n
∴2Sn=2•22+3•23+…+（n+1）•2n+1-4n
两式相减得：
-Sn=2•2+22+23+…2n+（n+1）•2n+1+2n=-n•2n+1+2n
∴Sn=n•2n+1-2n
当n=1或2时，有Sn=n3+n2；
当n≥3时，Sn=n•2n+1-2n=2n[（1+1）n-1]≥2n[1+n+
n(n-1)
2
]=n3+n2．

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