首页 > 在正项数列{an}中，令Sn=n∑i=11ai+ai+1．（Ⅰ）若{an}是首项为25，公差为2的等差数列，求S100；（Ⅱ）若Sn=nPa1+an+1（P为正常数）对正整数n恒成立，求证{an}为等

在正项数列{an}中，令Sn=n∑i=11ai+ai+1．（Ⅰ）若{an}是首项为25，公差为2的等差数列，求S100；（Ⅱ）若Sn=nPa1+an+1（P为正常数）对正整数n恒成立，求证{an}为等

题目简介

在正项数列{an}中，令Sn=n∑i=11ai+ai+1．（Ⅰ）若{an}是首项为25，公差为2的等差数列，求S100；（Ⅱ）若Sn=nPa1+an+1（P为正常数）对正整数n恒成立，求证{an}为等

题目详情

在正项数列{an}中，令Sn=
n
∑i=1
1
ai
+
ai+1
．
（Ⅰ）若{an}是首项为25，公差为2的等差数列，求S100；
（Ⅱ）若Sn=
nP
a1
+
an+1
（P为正常数）对正整数n恒成立，求证{an}为等差数列；
（Ⅲ）给定正整数k，正实数M，对于满足a12+ak+12≤M的所有等差数列{an}，求T=ak+1+ak+2+…a2k+1的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：盐城一模

答案

（Ⅰ）由题意，利用等差数列的公差为2，得到class="stub"1
ai
+
ai+1
=
ai+1
-
ai
2
，
所以S100=
a101
-
a1
2
=
25+2×100
-
25
2
=5．
（Ⅱ）证：令n=1得到class="stub"p
a1
+
a2
=class="stub"1
a1
+
a2
，则p=1．
由于Sn=
n
∑i=1
class="stub"1
ai
+
ai+1
=Sn=class="stub"nP
a1
+
an+1
（1），
Sn+1=
n+1
∑i=1
class="stub"1
ai
+
ai+1
=
(n+1)P
a1
+
an+2
（2），
（2）-（1），将p=1代入整理得
(n+1)
a1
+
an+2
-class="stub"n
a1
+
an+1
=class="stub"1
an+1
+
an+2
，
化简得（n+1）an+1-nan+2=a1（3）
（n+2）an+2-（n+1）an+3=a1（4），
（4）-（3）得an+1+an+3=2an+2对任意的n≥1都成立．
在（3）中令n=1得到，a1+a3=2a2，从而{an}为等差数列．
（Ⅲ）记t=ak+1，公差为d，
则T=ak+1+ak+2+…a2k+1=（k+1）t+
k(k+1)
2
d，则class="stub"T
k+1
=t+class="stub"kd
2
，M≥a12+ak+12=t2+（t-kd）2=class="stub"4
10
(t+class="stub"kd
2
)2+class="stub"1
10
(4t-3kd)2≥class="stub"4
10
(t+class="stub"kd
2
)2=class="stub"2
5
(class="stub"T
k+1
)2
则T≤
(k+1)
10M
2
，
当且仅当
4t=3kd
M=class="stub"2
5
(t+class="stub"kd
2
)2
，即
ak+1=t=3
class="stub"M
10
d=class="stub"4
k
class="stub"M
10
时等号成立．

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