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已知x，f(x)2，3(x≥0)成等差数列．又数列an（an＞0）中a1=3此数列的前n项的和Sn（n∈N+）对所有大于1的正整数n都有Sn=f（Sn-1）．（1）求数列an的第n+1项；（2）若bn

题目简介

已知x，f(x)2，3(x≥0)成等差数列．又数列an（an＞0）中a1=3此数列的前n项的和Sn（n∈N+）对所有大于1的正整数n都有Sn=f（Sn-1）．（1）求数列an的第n+1项；（2）若bn

题目详情

已知
x
，
f(x)
2
，
3
(x≥0)成等差数列．又数列an（an＞0）中a1=3此数列的前n项的和Sn（n∈N+）对所有大于1的正整数n都有Sn=f（Sn-1）．
（1）求数列an的第n+1项；
（2）若
bn
是
1
an+1
 
1
an
的等比中项，且Tn为{bn}的前n项和，求Tn．
题型：解答题难度：中档来源：香洲区模拟

答案

（1）∵
x
，
f(x)
2
，
3
(x≥0)成等差数列，
∴
f(x)
2
×2=
x
+
3
∴f(x)=(
x
+
3
)2∵Sn=f（Sn-1）（n≥2），∴Sn=f(Sn-1)=(
Sn-1
+
3)
2
∴
Sn
=
Sn-1
+
3
，  
Sn
-
Sn-1
=
3
  
∴{
Sn
}是以
3
为公差的等差数列．
∵a1=3∴S1=3，∴
Sn
=
S1
+(n-1)
3
=
3
n，
∴Sn=3n2（n∈N+） 
∴an+1=Sn+1-Sn=3（n+1）2-3n2=6n+3；
（2）∵数列
bn
是class="stub"1
an+1
 ，class="stub"1
an
的等比中项，
∴(
bn
)2=class="stub"1 
an+1
×class="stub"1
an
 
∴bn=class="stub"1
an+1an
=class="stub"1
3(2n+1)×3(2n-1)
=class="stub"1
18
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)  
Tn=b1+b2+…+bn=class="stub"1
18
[(1-class="stub"1
3
)+( class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+…+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)]=class="stub"1
18
(1-class="stub"1
2n+1
)

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