首页 > （理）已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2，其中A，B，C是△ABC的内角，若|z|=324．（1）求证：tgA•tgB=19；（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB

（理）已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2，其中A，B，C是△ABC的内角，若|z|=324．（1）求证：tgA•tgB=19；（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB

题目简介

（理）已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2，其中A，B，C是△ABC的内角，若|z|=324．（1）求证：tgA•tgB=19；（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB

题目详情

（理）已知复数z=
5
2
sin
A+B
2
+icos
A-B
2
，其中A，B，C是△ABC的内角，若|z|=
3
2
4
．
（1）求证：tgA•tgB=
1
9
；
（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，求
|MC|
|AB|
的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：宁波模拟

答案

证明：（1）∵|z|2=[
5
2
sinclass="stub"A+B
2
]2+[cosclass="stub"A-B
2
]2=[
3
2
4
]2…（2分）
∴class="stub"5
4
•
1-cos(A+B)
2
+
1+cos(A-B)
2
=class="stub"9
8
，
整理可得：4cos（A-B）=5cos（A+B），即4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，
∴9sinA•sinB=cosA•cosB，
∴tgA•tgB=class="stub"1
9
…（5分）
（2）tgC=-tg(A+B)=-class="stub"9
8
(tgA+tgB)≤-class="stub"9
4
tgA•tgB
=-class="stub"3
4
，
当且仅当tgA=tgB=class="stub"1
3
时，tgC最大，即∠C最大 …（8分）
设|AB|=2a，
∵|MA|+|MB|=2|AB|=4a，
∴M在以A，B为焦点的椭圆上，椭圆长半轴为2a，半焦距为a，短半轴为
3
a，…（10分）
以直线AB为x轴，AB中点为原点，建立坐标系，
设椭圆方程为
x2
4a2
+
y2
3a2
=1，M(x，y)则
|MC|2
|AB|2
=
x2+(y-class="stub"a
3
)2
4a2
=-
y2
12a2
-class="stub"y
6a
+class="stub"37
36
=-class="stub"1
12a2
(y+a)2+class="stub"10
9
(-
3
a≤y≤
3
a)
所以，当y=-a时，(
|MC|
|AB|
)max=
10
3
…（13分）

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