已知数列a1,a2,a3,…,a30,其中a1,a2,a3,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,a12,…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,a22,…,a30是公差为

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已知数列a1,a2,a3,…,a30,其中a1,a2,a3,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,a12,…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,a22,…,a30是公差为

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已知数列 a1,a2,a3,…,a30,其中a1,a2,a3,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,a12,…,a20是公差为 d的等差数列;a20,a21,a22,…,a30是公差为 d2的等差数列(d≠0).
(1)若 a20=40,求 d;
(2)试写出 a30关于 d的关系式;
(3)续写已知数列,使得 a30,a31,a32,…,a40是公差为 d3的等差数列,…,依此类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题,并进行研究,你能得到什么样的结论?
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)a1,a2,a3,…,a10首项为1,公差为1
∴a10=1+9×1=10a10,a11,a12,…,a20首项为a10,公差为d
∴a20=a10+10d=10(1+d)
∵a20=40∴10(1+d)=40∴d=3
(2)a20,a21,a22,…,a30首项为a20,公差为d2
∴a30=a20+10d2=10(1+d+d2)
(3)a30,a31,a32,…,a40首项为a30,公差为d3
∴a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3)
依此类推可得:a10n=10(1+d+d2+…+dn-1),n∈N*
∵d≠0∴当 d=1时,a10n=10(1+d+d2+…+dn-1)=10n
当 d≠1时,a10n=10(1+d+d2+…+dn-1)=10 ×
1-dn
1-d
=
10(1-dn)
1-d

综上得结论:a10n=
10n (d=1)
10(1-dn)
1-d
  (d≠1且d≠0)

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