首页 > 数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn-a2n=2．（Ⅰ）求证数列{S2n}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=24S4n-1，求数列{bn}的前n项和Tn，并

数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn-a2n=2．（Ⅰ）求证数列{S2n}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=24S4n-1，求数列{bn}的前n项和Tn，并

题目简介

数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn-a2n=2．（Ⅰ）求证数列{S2n}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=24S4n-1，求数列{bn}的前n项和Tn，并

题目详情

数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn-
a2n
=2．
（Ⅰ）求证数列{
S2n
}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
2
4
S4n
-1
，求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn＞
1
6
(m2-3m)对所有的n∈N*都成立的最大正整数m的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵2anSn-
a2n
=1
当n≥2时，2(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)2=1，
整理得，
S2n
-
S2n-1
=1（n≥2），（2分）
又
S21
=1，（3分）
∴数列{
S2n
}为首项和公差都是1的等差数列．（4分）
∴
S2n
=n，又Sn＞0，∴Sn=
n
（5分）
∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=
n
-
n-1
，
又a1=S1=1适合此式              （6分）
∴数列{an}的通项公式为an=
n
-
n-1
（7分）
（Ⅱ）∵bn=class="stub"2
4
S4n
-1
=class="stub"2
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
（8分）
∴Tn=class="stub"1
1×3
+class="stub"1
3×5
+…+class="stub"1
(2n-1)(2n+1)

=1-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
5
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1

=1-class="stub"1
2n+1
=class="stub"2n
2n+1
（10分）
∴Tn≥class="stub"2
3
，依题意有class="stub"2
3
＞class="stub"1
6
(m2-3m)，解得-1＜m＜4，
故所求最大正整数m的值为3   （12分）

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