首页 > 已知数列{an}满足a1=25，且对任意n∈N*，都有anan+1=4an+2an+1+2．（1）求证：数列{1an}为等差数列，并求{an}的通项公式；（2）令bn=an•an+1，Tn=b1+b2

已知数列{an}满足a1=25，且对任意n∈N*，都有anan+1=4an+2an+1+2．（1）求证：数列{1an}为等差数列，并求{an}的通项公式；（2）令bn=an•an+1，Tn=b1+b2

题目简介

已知数列{an}满足a1=25，且对任意n∈N*，都有anan+1=4an+2an+1+2．（1）求证：数列{1an}为等差数列，并求{an}的通项公式；（2）令bn=an•an+1，Tn=b1+b2

题目详情

已知数列{an}满足a 1=
2
5
，且对任意n∈N*，都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2
．
（1）求证：数列{
1
an
}为等差数列，并求{an}的通项公式；
（2）令bn=an•an+1，Tn=b1+b2+b3+…+bn，求证：Tn＜
4
15
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）∵
an
an+1
=
4an+2
an+1+2

∴2an-2an+1=3anan+1
两边同时除以anan+1可得，class="stub"1
an+1
-class="stub"1
an
=class="stub"3
2

∴数列列{class="stub"1
an
}是以class="stub"1
a1
=class="stub"5
2
为首项，以class="stub"3
2
为公差的等差数列，
∴class="stub"1
an
=class="stub"5
2
+class="stub"3
2
(n-1)=class="stub"3n+2
2

∴an=class="stub"2
3n+2

（2）bn=an•an+1=class="stub"2
3n+2
•class="stub"2
3n+5
=class="stub"4
3
(class="stub"1
3n+2
-class="stub"1
3n+5
)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=class="stub"4
3
(class="stub"1
5
-class="stub"1
3n+5
)＜class="stub"4
15

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