在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．（Ⅰ）设bn=an2n-1．证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．-数学

题目简介

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）设b_n=

2n-1

．证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

题型：解答题难度：中档来源：不详

由an+1=2an+2n．两边同除以2n得

an+1

2n-1

+1
∴

an+1

2n-1

=1，即bn+1-bn=1
∴{bn}以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）得

2n-1

=1+(n-1)×1=n
∴an=n•2n-1
Sn=20+2×21+3×22+…+n•2n-1
2Sn=21+2×22+…+（n-1）•2n-1+n•2n
∴-Sn=20+21+22+…+2n-1-n•2n
=

1-2n

1-2

- n•2n=(1-n)•2n-1
∴Sn=（n-1）•2n+1