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数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），其中a4=365，（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）若存在一个实数λ，使得{an+λ3n}为等差数列，求λ值；（Ⅲ）求数列{an}的前n项之和

题目简介

数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），其中a4=365，（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）若存在一个实数λ，使得{an+λ3n}为等差数列，求λ值；（Ⅲ）求数列{an}的前n项之和

题目详情

数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），其中a4=365，
（Ⅰ）求a1，a2，a3；  
（Ⅱ）若存在一个实数λ，使得{
an+λ
3n
}为等差数列，求λ值；
（Ⅲ）求数列{an}的前n项之和．
题型：解答题难度：中档来源：烟台三模

答案

（Ⅰ）由an=3an-1+3n-1，及a4=365知a4=3a3+34-1=365，则a3=95
同理求得a2=23，a1=5
（Ⅱ）∵{
an+λ
3n
}为一个等差数列，于是设
an+λ
3n
=xn+y
∴an=（xn+y）•3n-λ，又由a1=5，a2=23，a3=95
知
5=a1=(x+y)•3-λ
23=a2=(2x+y)•9-λ
95=a3=(3x+y)•27-λ
 &求得λ=-class="stub"1
2
，x=1，y=class="stub"1
2

∴an=(n+class="stub"1
2
)•3n+class="stub"1
2
，而an=(n+class="stub"1
2
)•3n+class="stub"1
2
满足递推式
因此λ=-class="stub"1
2
．
（Ⅲ）∵an=(n+class="stub"1
2
)•3n+class="stub"1
2
先求bn=(n+class="stub"1
2
)•3n的前n项和
记Tn=(1+class="stub"1
2
)•3n+(2+class="stub"1
2
)•32+…+(n+class="stub"1
2
)•3n
则3Tn=(1+class="stub"1
2
)•32+(2+class="stub"1
2
)•33+…+(n+class="stub"1
2
)•3n+1
由上两式相减
Tn-3Tn=(1+class="stub"1
2
)3+32+33+…+3n-(n+class="stub"1
2
)•3n+1
-2Tn=class="stub"9
2
+
32-3n+1
1-3
-(n+class="stub"1
2
)•3n+1=class="stub"9
2
+class="stub"1
2
(3n+1-9)-(n+class="stub"1
2
)•3n+1
=-n•3n+1
Tn=class="stub"1
2
n•3n+1
因此{an}•前n项和为Tn+class="stub"n
2
=class="stub"n
2
•3n+1+class="stub"n
2
=class="stub"n
2
(3n+1+1)．

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