首页 > 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=λan-1（λ为常数，n=1，2，3，…）．（I）若a3=a22，求λ的值；（II）是否存在实数λ，使得数列{an}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在．请说

设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=λan-1（λ为常数，n=1，2，3，…）．（I）若a3=a22，求λ的值；（II）是否存在实数λ，使得数列{an}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在．请说

题目简介

设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=λan-1（λ为常数，n=1，2，3，…）．（I）若a3=a22，求λ的值；（II）是否存在实数λ，使得数列{an}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在．请说

题目详情

设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=λan-1（λ为常数，n=1，2，3，…）．
（I）若a3=a22，求λ的值；
（II）是否存在实数λ，使得数列{an}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在．请说明理由
（III）当λ=2时，若数列{bn}满足bn+1=an+bn（n=1，2，3，…），且b1=
3
2
，令cn=
an
(an+1) bn
，求数列{cn}的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）因为Sn=λan-1，
所以a1=λa1-1，a2+a1=λa2-1，a3+a2+a1=λa3-1，
由a1=λa1-1可知λ≠1，
所以a1=class="stub"1
λ-1
，a2=class="stub"λ
(λ-1)2
，a3=
λ2
(λ-1)3
，
因为a3=a22，
所以
λ2
(λ-1)4
=
λ2
(λ-1)3
，
所以λ=0或λ=2．
（II）假设存在实数λ，使得数列{an}是等差数列，则2a2=a1+a3，
由（I）可知，class="stub"2 λ
(λ-1)2
=class="stub"1
λ-1
+
λ2
(λ-1)3
，
所以class="stub"2 λ
(λ-1)2
=
2λ2-2λ+1
(λ-1)3
，即1=0，矛盾，
所以不存在实数λ，使得数列{an}是等差数列．
（III）当λ=2时，Sn=2an-1，
所以Sn-1=2an-1-1，且a1=1，
所以an=2an-2an-1，即an=2an-1  （n≥2）．
所以an≠0（n∈N*），且
an
an-1
=2（n≥2）．
所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以an=2an-1（n∈N*），
因为bn+1=an+bn（n=1，2，3，…），且b1=class="stub"3
2
，
所以bn=an-1+bn-1=an-1+an-2+bn-2=…=an-1+an-2+…+a1+b1
=
2n+1
2
  n≥ 2．
当n=1时上式也成立．
所以bn=
2n+1
2
    n∈N*．
因为cn=
an
(an+1)bn
，
所以cn=
2n-1
(2n-1+1) 
2n+1
2
=
2•2n-1
(2n-1+1) (2n+)

因为
2n-1
(2n-1+1) (2n+)
=class="stub"1
2n-1+1
-class="stub"1
2n+1
，
所以Tn=C1+C2+…+Cn
=2(class="stub"1
2
-class="stub"1
2+1
+class="stub"1
2+1
-class="stub"1
22+1
+…+class="stub"1
2n-1+1
-class="stub"1
2n+1
)
=1-class="stub"2
2n+1

=
2n-1
2n+1
．

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